3.3.2 均匀随机数的产生 同步练习1（含答案）

3.3.2
均匀随机数的产生
同步练习
一、选择题
1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则(　　)
A．m>n
B．mC．m＝n
D．m是n的近似值
[答案]　D
2．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决(　　)
A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题
B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积
C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积
D．最适合估计古典概型的概率
[答案]　C
[解析]　很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．
3．在线段AB上任取三个点x1、x2、x3，则x2位于x1与x3之间的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．1
[答案]　B
[解析]　因为x1，x2，x3是线段AB上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是.
4．设x是[0，1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是(　　)
A．0
B．2
C．4
D．5
[答案]　C
[解析]　当x＝时，y＝2×＋3＝4.
5．把[0，1]内的均匀随机数分别转化为[0，4]和[－4，1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为(　　)
A．y＝－4x，y＝5－4
B．y＝4x－4，y＝4x＋3
C．y＝4x，y＝5x－4
D．y＝4x，y＝4x＋3
[答案]　C
6．如图所示，在墙上挂着一块边长为16
cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2
cm，4
cm，6
cm，某人站在3
m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，
记事件A＝{投中大圆内}，
事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，
事件C＝{投中大圆之外}．
(1)用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RNAD.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8，8]内的均匀随机数．21世纪教育网
(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4则概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值分别是(　　)
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
[答案]　A
[解析]　P(A)的近似值为，P(B)的近似值为，P(C)的近似值为.
二、填空题
7.利用计算机随机模拟方法计算图中阴影部分(如图所示)．第一步：利用计算机产生两个0～1之间的均匀随机数，x，y，其中－1＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：拟(x，y)为点的坐标．共做此试验N次．若落在阴影部分的点的个数为N1，
则可以计算阴影部分的面积S.
例如，做了2
000次试验，即N＝2
000，
模拟得到N1＝1
396，
所以S＝________.
[答案]　1.396
[解析]　根据题意：点落在阴影部分的概率是，
矩形的面积为2，阴影部分的面积为S，
则有＝，所以S＝1.396.
8．图形ABC如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1
m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
50次
150次
300次
石子落在⊙O内(含⊙O上)的次数m
14
43
93
石子落在阴影内次数n
29
85
186
则估计封闭图形ABC的面积为________m2.
[答案]　3π
[解析]　由记录≈1∶2，
可见P(落在⊙O内)＝＝，
又P(落在⊙O内)＝，
所以＝，SABC＝3π(
m2)
9．利用随机模拟方法计算y＝x2与y＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND，然后进行平移与伸缩变换a＝a1·4－2，b＝b1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a1＝0.3，b1＝0.8及a1＝0.4，b1＝0.3，那么本次模拟得出的面积约为________．
[答案]　10.72
[解析]　由a1＝0.3，b1＝0.8得：
a＝－0.8，b＝3.
2，(－0.8，3.2)落在y＝x2与y＝4围成的区域内，
由a1＝0.4，b1＝0.3得：a＝－0.4，b＝1.2，(－0.4，1.2)落在y＝x2与y＝4围成的区域内，
所以本次模拟得出的面积约为16×＝10.72.
三、解答题
10．在长为14
cm的线段AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π
cm2到16π
cm2之间的概率．
[分析]　圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型．解答本题时只需产生一组均匀随机数．
[解析]　设事件A表示“圆的面积介于9π
cm2到16π
cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0，1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0，14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[3，4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
11．利用随机模拟方法主算如图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积．
[解析]　(1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)×2，b＝b1×2，得到一组[－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.
(4)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝，＝，所以S≈，即为阴影部分的面积值．
12．在如图的正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1
000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，求这次模拟中π的估计值．(精确到0.001)
[解析]　假设正方形的边长是2，则正方形的面积是4，圆的半径是1，则圆的面积是π，
根据几何概型的概率公式得到≈.所以π≈3.104.