3.3.2 均匀随机数的产生 同步练习2（含答案）

3.3.2
均匀随机数的产生
同步练习
[学业水平训练]
1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则(　　)
A．m>n　　　　　
B．mC．m＝n
D．m是n的近似值
解析：选D.随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．
2．要产生[－3，3]上的均匀随机数y，现有[0，1]上的均匀随机数x，则y不可取为(　　)
A．－3x　　　　　
B．3x
C．6x－3
D．－6x－3
解析：选D.法一：利用伸缩和平移变换进行判断；法二：由0≤x≤1，得－9≤－6x－3≤－3，故y不能取－6x－3.
3．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5
cm的圆，中间有边长为0.5
cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A.由题意知所求的概率为P＝＝.
4．某人下午欲外出办事，我们将12∶00～18∶00这个时间段称为下午时间段，则此人在14∶00～15∶00之间出发的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C.所有可能结果对应时间段为18－12＝6，事件发生的时间段为15－14＝1，∴P＝.
5．如图所示，四个可以自由转动的转盘被平均分成若干个扇形．转动转盘，转盘停止转动后，有两个转盘的指针指向白色区域的概率相同，则这两个转盘是(　　)
A．转盘1和转盘2
B．转盘2和转盘3
C．转盘2和转盘4
D．转盘3和转盘4
解析：选C.根据每个转盘中白色区域面积与转盘总面积的比值分别计算出指向白色区域的概率，P1＝，P2＝＝，P3＝＝，
P4＝，故P2＝P4.
6．如图，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．
解析：∵矩形的长为6，宽为3，则S矩形＝18，
∴＝＝，∴S阴＝.
答案：
7．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为________．
解析：由3a－1<0，得a<，而0～1的“长度”为1，故所求概率为.
答案：
8．如图，在一个两边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，那么所投点落在梯形内部的概率为________．
解析：∵图中梯形的面积为s＝×(a＋a)×b＝ab，
矩形的面积为S＝ab，
∴落在梯形内部的概率为：P＝＝＝.
答案：
9．如图所示，在一个长为4，宽为2的矩形中有一个半圆，试用随机模拟的方法近似计算半圆面积，并估计π的值．
解：记事件A为“点落在半圆内”．
(1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND；
(2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)
4，b＝b1
2；
(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足a2＋b2<4的点(a，b)个数)；
(4)计算频率，即为点落在阴影部分的概率近似值；
(5)用几何概型公式求概率，P(A)＝，所以≈，即S半圆≈，为半圆面积的近似值．
又2π≈，所以π≈.
10．利用随机模拟方法计算如图阴影部分(直线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．
解：(1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)
2，b＝(b1－0.5)
4，得到一组[－1，1]上的均匀随机数和一组[－2，2]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.
(4)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝，＝，∴S＝，即为阴影部分的面积值．
[高考水平训练]
1．ABCD为长方形，
AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)
A.　　　　
B．1－
C.
D．1－
解析：选B.
长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝，取到的点到O的距离大于1的概率为1－.
2．已知正方体ABCD A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是________．
解析：设正方体的棱长为2.
正方体ABCD A1B1C1D1的内切球O的半径是其棱长的一半，其体积为V1＝π×13＝.
则点M在球O内的概率是＝.
答案：
3．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，设点A是圆C上任意一点，求点A到直线l的距离小于2的概率．
解：由x2＋y2＝12，知圆心O(0，0)，
∴圆心到直线l的距离d＝＝5，
如图所示，设与直线l：4x＋3y＝25平行且到该直线的距离为2的直线为l′，且l′与圆C交于P、Q两点．
因此点O(0，0)到l′的距离为3，
又圆C的半径r＝2，
∴在△POQ中，可求|PQ|＝2，则∠POQ＝.
记“点A到直线l的距离小于2”为事件M，则事件M发生有点A在弧上，
∴P(M)＝＝＝.
4．平面上有一个边长为4的等边△ABC网格，现将直径等于2的均匀硬币抛掷在此网格上(假定都落在此网格上)，求硬币落下后与网格线没有公共点的概率．
解：设事件M＝{硬币落下后与等边△ABC的网格线没有公共点}．
要使硬币落在网格上的条件是硬币的重心需落在此△ABC内部，
故所有的随机基本事件所构成的区域为△ABC.
当硬币与边恰有一个公共点的重心位置就是临界点的位置．
如图，所有临界点形成三条临界线，三条临界线构成一个小△EFG区域，因此事件M所构成的区域为△EFG区域．
经计算得△EFG的边长为2.
∴P(M)＝＝＝.