3.3.2 均匀随机数的产生 学案1（无答案）

3.3.2
均匀随机数的产生
学案
【学习目标】
1．了解均匀随机数产生的方法与意义．
2．会利用随机模拟试验估计几何概型的概率．
【学习重点】
如何利用均与随机数估计试验的概率.
课前预习案
【知识链接】
问题1、(1)什么是几何概型？
(2)几何概型的概率公式是怎样的？
(3)几何概型的特点是什么？
【知识梳理】
均匀随机数
(1)产生方法：方法一，利用几何概型产生；方法二，用转盘产生；方法三，用______或______产生．
(2)应用：利用均匀随机数可以进行随机模拟试验估计______的概率．
重难点突破：
1．均匀随机数的产生
剖析：产生均匀随机数和产生整数随机数的办法基本相同，都可以采用计算器和Excel软件产生，只是具体操作时所用的函数略有不同．下面以产生[0，1]之间的均匀随机数为例来说明这种随机数的产生方法．
(1)计算器法．
比如我们要产生[0，1]之间的均匀随机数，具体操作如下：
(2)计算机法．
比如首先打开Excel软件，在想要产生随机数的第一个单元格中输入“＝rand()”，再按Enter键，这时就在此单元格中产生了一个
[0，1]之间的均匀随机数，选中此单元格“复制”，再点选其他单元格中的一个，拖动鼠标直到最后一个单元格，执行“粘贴”操作，这时就得到了若干个[0，1]之间的均匀随机数．
2．产生[a，b]范围的均匀随机数
剖析：我们知道rand()函数可以产生[0，1]范围内的均匀随机数，但事实上我们需要用到的随机数的范围是各种各样的，下面就介绍如何将[0，1]范围内的随机数转化为[a，b]之间的随机数．
初探：先利用计算器或计算机产生[0，1]内的均匀随机数a1，因为0≤a1≤1，且b－a＞0，所以0≤a1(b－a)≤b－a，∴a≤a1(b－a)＋a≤b.
探究结果：rand()
(b－a)＋a表示[a，b]之间的均匀随机数．
特例：若0≤a1≤1，则－0.5≤a1－0.5≤0.5，即－1≤2(a1－0.5)≤1.所以当我们需要[－1，1]范围内的均匀随机数时，可以采用(rand()－0.5)?
2，也可以采用2rand()－1来产生．
自主小测
1、
下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是
(　　)
A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果
B．旋转的次数越多，估计的结果越精确
C．旋转时可以按规律旋转
D．转盘的半径越大，估计的结果越精确
2．b1是[0，1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间________上的均匀随机数．
课上导学案
【例题讲解】
【例题1】
在长为12
cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，用随机模拟方法求这个正方形的面积介于36
cm2与81
cm2之间的概率．
反思：用随机模拟方法估计几何概型的步骤：①确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概率．
【例题2】
利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．
反思：利用随机模拟方法估计图形面积的步骤是：①把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示；②利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P
(A)＝；③设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是S′，则有＝，解得S＝S′，则所求图形面积的近似值为S′.
【当堂检测】
1．用计算器或计算机产生20个0～1之间的随机数x，但是基本事件都在区间[－1，3]上，则需要经过的变换是(　　)
A．y＝3x－1
B．y＝3x＋1
C．y＝4x＋1
D．y＝4x－1
2．利用随机模拟方法计算如图所示的阴影部分(y＝x3和x＝2以及x轴所围成的部分)的面积．
步骤是：(1)利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；
(2)进行伸缩变换a＝2a1，b＝8b1；
(3)数出落在阴影内的样本点数N1(满足b＜a3的点(a，b)的个数)，用几何概型公式计算阴影部分的面积．
例如，做1
000次试验，即N＝1
000，模拟得到N1＝250.
由≈，得S阴影≈________.
3．取一根长度为3
m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟方法求出剪得两段的长都不小于1
m的概率．
4．如图所示，在一个边长为3
cm的正方形内部画一个边长为2
cm的正方形，向大正方形内随机投点，用随机模拟的方法求所投的点落入小正方形内的概率．
【问题与收获】
基础知识答案：(1)计算机　计算器　(2)几何概型
自主小测答案：
1、
B　旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以C项不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D项不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以B项正确，A项不正确．
2、
[－6，－3]　0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是－6≤b≤－3，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．
例题答案：
【例题1】
解：步骤：(1)用计算机产生一组[0，1]内的均匀随机数，a1＝RAND．21世纪教育网
(2)经过伸缩变换，a＝12a1得到[0，12]内的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N和[6，9]内随机数的个数N1.
(4)计算频率.
记事件A＝{面积介于36
cm2与81
cm2之间}＝{边长介于6
cm与9
cm之间}，则P(A)的近似值为.
【例题2】
解：步骤：(1)利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND．
(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2b1，得到一组[－1，1]内的均匀随机数和一组[0，2]内的均匀随机数．21世纪教育网
(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b＜2a的点(a，b)的个数]．
(4)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝，
则＝.
故S＝，即阴影部分面积的近似值为.
当堂检测答案：1．D
2．4　S阴影≈·S矩＝×2×8＝4.
3．分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且[0，3]内的每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得的两段长都不小于1
m．这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的频率．
解：设剪得两段的长都不小于1
m为事件A．
(1)利用计算器或计算机产生一组0到1之间的均匀随机数，a1＝RAND．
(2)经过伸缩变换，a＝3a1.
(3)统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3]内随机数的个数N.
(4)计算频率即为概率P(A)的近似值．
4．解：设事件A＝{所投点落入小正方形内}．
①用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND．
②经过平移和伸缩平移变换，
a＝3a1－1.5，b＝3b1－1.5，得[－1.5，1.5]上的均匀随机数．
③统计落入大正方形内的点数N(即上述所有随机数构成的点(a，b)的个数)及落入小正方形内的点数N1(即满足－1＜a＜1且－1＜b＜1的点
(a，b)的个数)．
④计算，即为概率P(A)的近似值．