第三章 概率 同步练习3（含答案）

第三章
概率
同步练习
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题．在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，每小题5分共50分)
1．下列事件中，随机事件的个数为(　　)
①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4
℃时结冰．
A．1　　　　　
B．2
C．3
D．4
解析：选C.①在某学校2015年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1，2，
3，4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4
℃时结冰是不可能事件．故选C.
2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件
B．互斥但不对立事件
C．不可能事件
D．必然事件
解析：选B.根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
3．下列试验属于古典概型的有(　　)
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；
②在公交车站候车不超过10分钟的概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；
④从一桶水中取出100
mL，观察是否含有大肠杆菌．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选A.古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.
4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A.
B.
C.
D.
解析：选A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果是3×3＝9(个)，其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有3个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为＝.
5．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C.三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为＝.
6．在长为12
cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20
cm2的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C.设|AC|＝x
cm，0＜x＜12，则|CB|＝(12－x)
cm，要使矩形面积大于20
cm2，只要x(12－x)＞20，则x2－12x＋20＜0，2＜x＜10，所以所求概率为P＝＝，故选C.
7．对一批产品的长度(单位：
毫米)进行抽样检测，
下图为检测结果的频率分布直方图.
根据标准，
产品长度在区间[20，25)上为一等品，
在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，
在区间[10，15)和[30，35]上为三等品.
用频率估计概率，
现从该批产品中随机抽取1件，
则其为二等品的概率是(　　)
A．0.09
B．0.20
C．0.25
D．0.45
解析：选D.由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45，用频率估计概率，故选D.
8．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C.根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有六种可能性，则(x，y)的情况有6×6＝36(种)，即P点有36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满足条件的概率为＝.
9．如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是(　　)
A．1－
B.
C．1－
D．与a的取值有关
解析：选A.正方形面积为a2，空白部分面积为4π＝，所以概率为P＝1－＝1－.
10．在箱子里装有十张纸条，分别写有1到10的十个整数．从箱子中任取一张纸条，记下它的读数x，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张纸条，记下它的读数y，则x＋y是10的倍数的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D.先后两次取纸条时，形成的有序数对有(1，1)，(1，2)，…，(1，10)，…，(10，10)，共100个．∵x＋y是10的倍数，∴这些数对应该是(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)，(5，5)，(6，4)，(7，3)，(8，2)，(9，1)，(10，10)，共10个，故x＋y是10的倍数的概率是P＝＝.
二、填空题(本大题共5小题，满分20分，把答案填在题中横线上)
11．袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．
解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为，设白球个数为x，则黑球个数为5－x，那么，可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为.
答案：
12．在区间[－1，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为________．
解析：由cos＝，x∈[－1，1]得x＝±，如图所示，使cos的值介于0到之间的点落在[－1，－]和[，1]内，
∴所求概率P＝＝.
答案：
13．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．
解析：设OA＝OB＝2R，连接AB，设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，连接OD，OC.
如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形的拱形面积，
S阴影＝π(2R)2－×(2R)2＝(π－2)R2，S扇＝πR2，故所求的概率是＝1－.
答案：1－
14．如图为铺有1～36号地板砖的地面，现将一粒豆子随机地扔到地板上，豆子落在能被2或3整除的地板砖上的概率为________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
解析：因为每块地板砖的面积相等，所以豆子落在每块地板砖上是等可能的，因为能被2整除的有18块，能被3整除的有12块，能被6整除的有6块，所以能被2或3整除的一共有18＋12－6＝24(块)．故所求概率为＝.
答案：
15．如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y＝与两直线x＝2及y＝0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组0～1的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND；②做变换，令x＝2a，y＝2b；③产生N个点(x，y)，并统计满足条件y＜的点(x，y)的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N＝1
000时，N1＝332，则据此可估计S的值为________．
解析：根据题意：满足条件y＜的点(x，y)的概率是，矩形的面积为4，则有＝，∴S＝1.328.
答案：1.328
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，满分50分，解答时要有详细文字、证明过程或演算步骤)
16．随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率．
(1)所得的三位数大于400；
(2)所得的三位数是偶数．
解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数．
(1)大于400的三位数的个数为4，∴P＝＝.
(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，
∴相应的概率为P＝＝.
17．设M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率．
解：利用平面直角坐标系列举，如图所示．
由此可知，基本事件总数n＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x＋y是3的倍数的情况有m＝15(种)，故所求事件的概率为＝.
18．已知甲、乙两人约定到羽毛球馆去打球，两人都在9∶30～11∶30的任意时刻到达，若两人的到达时刻相差20分钟以内，两人可以一起打球，否则先到者就和别人在一起打球，求甲、乙两人没在一起打球的概率．
解：设甲的到达时刻为x，乙的到达时刻为y，
由(x，y)构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}，
令两人没在一起打球的事件为A，则事件A构成区域A＝{(x，y)||x－y|＞，0≤x≤2，0≤y≤2}，如图．区域Ω面积S＝2×2＝4，区域A的面积为SA＝()2＝，
∴P(A)＝＝.
19．已知集合Z＝{(x，y)|x∈[0，2]，y∈[－1，1]}．
(1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率；
(2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率．
解：(1)设“x＋y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈
[－1，1]，即y＝－1，0，1.
则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个．其中满足“x＋y≥0”的基本事件有8个，∴P(A)＝.
故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为.
(2)设“x＋y≥0，x，y∈R”为事件B，
∵x∈[0，2]，y∈[－1，1]，则
基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．
∴P(B)＝＝＝＝，故x，y∈R，x＋y≥0的概率为.
20．2014年全国政协十二届二次会议期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x、y，且x(1)共有多少个基本事件？并列举出来；
(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．
解：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)，共36个．
(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A，即事件A为“x，y∈{1，2，3，4，5，6，
7，8，9}，且11≤x＋y<17，其中x