3.1.3 概率的基本性质 同步练习1（含答案）

3.1.3
概率的基本性质
同步练习
一、选择题
1．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品任意取出3件，设A表示事件“3件产品全不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(　　)
A．B与C互斥
B．A与C互斥
C．A、B、C任意两个事件均互斥
D．A、B、C任意两个事件均不互斥
[答案]　B
[解析]　本题主要考查互斥事件的概念．由题意得事件A与事件B不可能同时发生，是互斥事件；事件A与事件C不可能同时发生，是互斥事件；当事件B发生时，事件C一定发生，所以事件B与事件C不是互斥事件，故选B.
2．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于(　　)
A．0.3
B．0.2
C．0.1
D．不确定
[答案]　D
[解析]　由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．
3．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为(　　)
A．0.
65
B．0.55
C．0.35
D．0.75
[答案]　C
[解析]　设该地6月1日下雨为事件A，阴天为事件B，晴天为事件C，则事件A，B，C两两互斥，且A∪B与C是对立事件，则P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.20＝0.35.
4．抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A为“出现奇数点\”，事件B为“出现2点\”，已知P(A)＝，P(B)＝，出现奇数点或2点的概率之和为
(　　)
A．　　
B．
C．　　
D．
[答案]　D
[解析]　记“出现奇数点或2点\”为事件C，因为事件A与事件B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.故选D.
5．在一次随机试验中，事件A1，A2，A3发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是(　　)
A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．A1∪A2∪A3是必然事件
C．P(A2∪A3)＝0.8
D．事件A1，A2，A3的关系不确定
[答案]　D
[解析]　比如在一个箱子中有白球，黄球和红球若干，从中任取一球，取到红球(记为事件A1)的概率为0.2，取到黄球(记为事件A2)的概率为0.3，取到黄球或红球(记为事件A3)的概率为0.5，显然A1∪A2与A3即不是互斥事件，更不是对立事件，故A错误；A1∪A2∪A3是“取到黄球或红球”，不是必然事件，故B错误；P(A2∪A3)＝P(A3)＝0.5，故C错误．故选D.
6．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．1
[答案]　C
[解析]　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任决心书取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
二、填空题
7．某人在打靶中连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．
[答案]　两次都不中靶
8．经统计某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
t
0.3
0.16
0.3
0.1
0.04
(1)t＝________；
(2)至少3人排队等候的概率是________．
[解析]　(1)∵t＋0.3＋0.16＋0.3＋0.1＋0.04＝1，∴t＝0.1.
(2)至少3人包括3人，4人，5人以及5人以上，且这三类是互斥的，∴概率为0.3＋0.1＋0.
04＝0.44.
[答案]　(1)0.1　(2)0.44
9．甲射击一次，中靶概率是P1，乙射击一次，中靶概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶概率为________；乙射击一次，不中靶概率为________．
[答案]　　
[解析]　由P1满足方程x2－x＋＝0知，P－P1＋＝0，解得P1＝；因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，解得P2＝，因此甲射击一次，不中靶概率为1－＝，乙射击一次，不中靶概率为1－＝.
三、解答题
10．某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购．记事件A为“只买甲产品”，事件B为“至少买一种产品”，事件C为“至多买一种产品”，事件D为“不买甲产品”，事件E为“一种产品也不买”．判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；
(2)B与E；
(3)B与D；
(4)B与C；
(5)C与E.
[分析]　利用互斥事件和对立事件的概念进行判断．
[解析]　(1)由于事件C“至多买一种产品”中有可能只买甲产品，故事件A与事件C有可能同时发生，故事件A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少买一种产品”与事件E“一种产品也不买”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．又由于事件B与E必有一个发生，所以事件B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少买一种产品”中有可能买乙产品，即与事件D“不买甲产品”有可能同时发生，故事件B与D不是互斥事件．
(4)若顾客只买一种产品，则事件B“至少买一种产品”与事件C“至多买一种产品”就同时发生了，所以事件B与C不是互斥事件．
(5)若顾客一件产品也不买，则事件C“至多买一种产品”与事件E“一种产品也不买”就同时发生了，事实上事件C与E满足E C，所以二者不是互斥事件．
11．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值．
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
[解析]　(1)由已知得，
25＋y＋10＝55，x＋y＝35，
所以x＝15，y＝20，
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：
＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1、A2、A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率，得
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
P(A3)＝＝.
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，
所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
12．猎人在相距100
m处射击一野兔，命中的概率为，如果第一次未击中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150
m，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200
m，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击中野兔的概率．
[解析]　设距离为d，命中的概率为P，
则有P＝，将d＝100，P＝代入，
得k＝Pd2＝5
000，所以P＝.
设第一、二、三次击中野兔分别为事件A1，A2，A3，则
P(A3)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.
所以P(A1＋A2＋A3)＝＋＋＝.
故射击不超过三次击中野兔的概率为.