3.3.1 几何概型 同步练习1（含答案）

3.3.1几何概型
同步练习
一、选择题
1.两根电线杆相距100m，若电线遭受雷击，且雷击点距电线杆距离为10m之内时，电线杆上的输电设备将受损，则遭受雷击时输电设备受损的概率为(　　)
A.0.1
B.0.2
C.0.05
D.0.5
答案:B
解析:根据题意可建立如图的模型:AB=100m，AC=BD=10m.
从而可知遭受雷击在AC内或在DB内时，输电设备受损.
故所求概率为=0.2.
2.
如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)
A.1-
B.-1
C.2-
D.
答案:A
解析:S矩形ABCD=1×2=2，S扇形ADE=S扇形CBF=.
由几何概型可知该地点无信号的概率为
P==1-.
3.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=(　　)
A.
B.
C.
D.
答案:D
解析:
如图，设AB=2x，AD=2y.
∵AB为最大边的概率是，则P在EF上运动满足条件，且DE=CF=x，即AB=EB或AB=FA，
∴2x=，即4x2=4y2+x2，
即x2=4y2，∴.
∴.
又∵，故选D.
4.取一根3m长的绳子，拉直后在任意位置剪断，所得两段中，有一段大于2m的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案:B
解析:如图，AB=BC=CD=1m，
当在AB段上或CD段上剪断时，能得到大于2m的一段，所以所求概率为.
5.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案:C
解析:此概型为几何概型，由于在长为12cm的线段AB上任取一点C，因此总的几何度量为12，满足矩形面积大于20cm2的点在C1与C2之间的部分，如图所示.
因此所求概率为，即.故选C.
二、非选择题
6.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为　　　　.
答案:
解析:记事件A=“打篮球”，则P(A)=.
记事件B=“在家看书”，
则P(B)=-
P(A)=.
故P()=1-P(B)=1-.
7.在球O内任取一点P，则点P在球O的内接正方体中的概率是　　　　　.
答案:
解析:设球的半径为R，则球O的内接正方体的对角线长为2R，则正方体的边长为a时，有a=2R，即a=.故所求概率为.
8.有下面四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择　　　　　.(填序号)
答案:①
解析:因为选择①②③④游戏盘中奖的概率分别为，所以选择①中奖机会更大.
9.如图，平面上一长12cm，宽10cm的矩形ABCD内有一半径为1cm的圆O(圆心O在矩形对角线交点处).把一枚半径为1cm的硬币掷在矩形内，求硬币和圆O不相碰的概率.
解:要使硬币不与圆O相碰，则硬币中心距圆心O不小于2cm，即硬币中心在如图所示的阴影部分内.
所以硬币不与圆相碰的概率为=1-.
10.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M.
(1)求点M落在三棱锥B1-A1BC1内的概率；
(2)求使四棱锥M-ABCD的体积不小于a3的概率.
解:(1)∵棱长为a的正方体的体积V=a3，
又由正方体的性质可知a3，
∴点M落在三棱锥B1-A1BC1内的概率为
.
(2)设点M到平面ABCD的距离为h，
由题意，得a2h≥a3，
即h≥.
故使四棱锥M-ABCD的体积不小于a3的概率为.