3.3.1 几何概型 同步练习2（含答案）

3.3.1
几何概型
同步练习
一、选择题
1．如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是(　　)
[答案]　A
[解析]　P(A)＝，
P(B)＝＝，
P(C)＝＝1－，
P(D)＝.
则P(A)最大，故选A.
2．如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
[答案]　B
[解析]　设事件A＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A的几何区域为内切圆的面积S＝πR2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P(A)＝＝，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为.
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1－ABC内的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
[答案]　B
[解析]　体积型几何概型问题．
P＝＝.
4．如图，在一个边长为a、b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
[答案]　C
[解析]　S矩形＝ab.
S梯形＝b＝ab.
故所投的点落在梯形内部的概率为
P＝＝＝.
5．(2013～2014·山东济南模拟)在区间[0，1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0，1]内的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
[答案]　A
[解析]　设在[0，1]内取出的数为a，b，若a2＋b2也在[0，1]内，则有0≤a2＋b2≤1.
如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2＋b2在[0，1]内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为＝.
6．某人从甲地去乙地共走了500
m，途中要过一条宽为x
m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为(　　)
A．16
m
B．20
m
C．8
m
D．10
m
[答案]　B
[解析]　物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为，即掉到河里的概率为，则河流的宽度占总距离的，所以河宽为500×＝20(m)．
二、填空题
7．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为________．
[答案]　
[分析]　解不等式，求出a的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可．
[解析]　由题意，得0＜a＜，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a－1＜0”发生的概率为.
8．一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．
[答案]　
[解析]　如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
则△ABC的周长为3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A，则P(A)＝＝＝.
9．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．
在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为________．
[答案]　
[解析]　由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r＝4，高h＝6，故球体积V＝πR3＝，圆柱体积V1＝πr2·h＝96π，
∴所求概率P＝＝.
三、解答题
10．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．
[解析]　在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝；
(2)P＝＝＝；
(3)P＝＝
＝＝.
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M为其内一点；
②求四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．
解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．
[解析]　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，设M－ABCD的高为h，
则×S四边形ABCD×h<，
又S四边形ABCD＝1，
则h<，即点M在正方体的下半部分．故所求概率P＝＝.
12．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？
[解析]　(1)设事件A＝“弦长超过”，弦长只与它跟圆心的距离有关，
∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝.
(2)设事件B＝“弦长超过”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为的同心圆内时，才能满足
条件，由几何概率公式知P(B)＝.
(3)设事件C＝“弦长超过”，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC，显然只有当弦的另一端点D落在上时，才有|AD|>|AB|＝，由几何概率公式知P(C)＝.