1.1.1 正弦定理 课件4
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课件33张PPT。1.1.1 正弦定理[读教材·填要点]
余弦定理其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C[小问题·大思维]
1．在三角形的三条边和三个内角六个元素中，你认为已
知哪些元素利用余弦定理可求得其他元素？
提示：(1)已知两边及其夹角；(2)已知三条边．这两种类型的三角形都可用余弦定理求解．
2．在△ABC中，若b2＋c2提示：∵b2＋c2∴cos A<0，∴△ABC为钝角三角形．3．余弦定理与勾股定理之间有怎样的联系？
提示：在三角形的边角关系中，勾股定理指出了直角三角形中三边之间的平方关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．在△ABC中，若∠C为直角，由于cos C＝0，则c2＝a2＋b2，若∠A或∠B为直角，也同样有类似的关系，分别满足余弦定理的三个公式．因此，勾股定理是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广．[答案] D[悟一法]
观察已知条件的特征(含有a2＋c2－b2及ac)，因此利用余弦定理将条件转化，是解答本题的关键，但要注意角的取值范围．[悟一法]
1．应用余弦定理及其变形公式解三角形，其题目类型有
(1)已知两边及其夹角，求第三边和另外两角；
(2)已知三边，求三个内角．
2．已知两边及其中一边的对角解三角形，可直接利用正弦定理求解，也可以先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理的变形公式求另外两角，利用前者求解较方便，但需注意讨论解的情况，利用后者求解，缺点是运算较复杂，但较直接，可避免讨论．答案：120°[悟一法]
余弦定理和正弦定理都是解三角形的重要工具，都可以实现三角形中的边角转化．在解决三角形中的综合问题时，要有意识地合理选择，一般情况下，如果条件中含有角的余弦或边的二次式，要考虑余弦定理；若条件中含有角的正弦或边的一次式，则考虑正弦定理．学习时应注意归纳总结正、余弦定理的应用技巧，如公式的正用、逆用以及变形用等，同时牢固掌握内角和定理的运用和三角变换的技巧．[通一类]
4．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝
5∶11∶13，则△ABC ( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案：C 在△ABC中，若b2sin2 C＋c2sin2 B＝2bccos Bcos C，
试判断三角形的形状．
余弦定理其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C[小问题·大思维]
1．在三角形的三条边和三个内角六个元素中，你认为已
知哪些元素利用余弦定理可求得其他元素？
提示：(1)已知两边及其夹角；(2)已知三条边．这两种类型的三角形都可用余弦定理求解．
2．在△ABC中，若b2＋c2
提示：在三角形的边角关系中，勾股定理指出了直角三角形中三边之间的平方关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．在△ABC中，若∠C为直角，由于cos C＝0，则c2＝a2＋b2，若∠A或∠B为直角，也同样有类似的关系，分别满足余弦定理的三个公式．因此，勾股定理是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广．[答案] D[悟一法]
观察已知条件的特征(含有a2＋c2－b2及ac)，因此利用余弦定理将条件转化，是解答本题的关键，但要注意角的取值范围．[悟一法]
1．应用余弦定理及其变形公式解三角形，其题目类型有
(1)已知两边及其夹角，求第三边和另外两角；
(2)已知三边，求三个内角．
2．已知两边及其中一边的对角解三角形，可直接利用正弦定理求解，也可以先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理的变形公式求另外两角，利用前者求解较方便，但需注意讨论解的情况，利用后者求解，缺点是运算较复杂，但较直接，可避免讨论．答案：120°[悟一法]
余弦定理和正弦定理都是解三角形的重要工具，都可以实现三角形中的边角转化．在解决三角形中的综合问题时，要有意识地合理选择，一般情况下，如果条件中含有角的余弦或边的二次式，要考虑余弦定理；若条件中含有角的正弦或边的一次式，则考虑正弦定理．学习时应注意归纳总结正、余弦定理的应用技巧，如公式的正用、逆用以及变形用等，同时牢固掌握内角和定理的运用和三角变换的技巧．[通一类]
4．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝
5∶11∶13，则△ABC ( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案：C 在△ABC中，若b2sin2 C＋c2sin2 B＝2bccos Bcos C，
试判断三角形的形状．