课件42张PPT。1.1.1 正弦定理1.1.1 正弦定理新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:已知△ABC的外接圆的半径为R,△ABC中∠A所对的边BC长为a,∠B所对的边AC长为b,∠C所对的边AB长为c.
(1)△ABC为直角三角形时如图(1)所示,C=90°,则AB=2R.a=2RsinA,b=2RsinB,C=2R=2RsinC.(2)△ABC为锐角三角形时,如图(2).连结AO并延长交☉O于点D,连结CD.
则∠B=∠D,AD=2R,AC⊥DC,
在Rt△ADC中,b=2RsinD,
∴b=2RsinB.
同理可得a=2RsinA,c=2RsinC.(3)△ABC为钝角三角形时,如图(3)所示.
连结BO并延长交☉O于点E,连结AE,
则BE=2R,AB⊥AE,∠E+∠C=180°.
在Rt△ABE中,c=2RsinE=2Rsin(180°-C)=2RsinC.
易证a=2RsinA,b=2RsinB.想一想 根据实例你能得出三角形中边角之间的关系式吗?知识探究——自主梳理 思考辨析2.解三角形
一般地,把三角形的三个内角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的 ,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
3.正弦定理的应用
正弦定理主要用于解决下列两类问题:
(1)已知△ABC两角和任意一边,求其他两边和一角.
(2)已知△ABC两边和其中一边的对角,求另外一边的对角和其他的边角元素思考2:在△ABC中,若A>B,是否有sinA>sinB?反之,是否成立?拓展提升:在△ABC中,已知a,b和A时三角形解的情况:
见附表题型探究——典例剖析 举一反三题型一 已知两角及一边解三角形
【例1】 在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,
求A,b,c.跟踪训练1-1:在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小.题后反思 已知三角形中的两边和其中一边的对角,解三角形时对解的情况进行讨论(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.题型三 利用正弦定理判断三角形的形状
【例3】 在△ABC中,若b=acos C,试判断该三角形的形状.
名师导引:已知条件等式中既含有边,又含有角,应怎样进行转化?(应将边化为角,或者将角化为边,但考虑到等式中是角的余弦值,不宜将角化为边,因此应将边化为角)题后反思 根据边角关系判断三角形形状的途径:
①利用正弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
②利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.跟踪训练3-1:在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)
=sin2C,则△ABC是 三角形.?答案:直角备选例题达标检测——反馈矫正 及时总结1.在△ABC中,下列关系一定成立的是( )
(A)a>bsin A (B)a=bsin A
(C)a正弦定理表达了三角形的边和角的关系,是解三角形的重要工具.利用正弦定理可以解以下两类三角形:
(1)已知两角和任一边,求未知边和角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角,此类问题有两解、一解、无解的情况,需要进行讨论.课件35张PPT。《1.1.2 余弦定理》 课件 3新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:在△ABC中,AC=2,BC=3,C=60°,解三角形.想一想 上述实例能否用正弦定理求解?若不能,你能用所学过的平面向量的知识求出边AB吗?知识探究——自主梳理 思考辨析1.余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
即a2= ,b2= ,
c2= .b2+c2-2bccos Ac2+a2-2cacos Ba2+b2-2abcos C思考1:如图,以A为原点,边AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),C(bcos A,bsin A),试根据两点间的距离公式证明余弦定理.提示:BC2=(bcosA-c)2+(bsinA-0)2
=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A,
即a2=b2+c2-2bccosA.
同理可证:b2=c2+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2abcosC. 思考2:(1)若△ABC为钝角三角形,且A>90°,则三边a,b,c满足什么关系?
(2)若△ABC的三边a,b,c满足a2>b2+c2,则△ABC是什么三角形?3.余弦定理及其推论的应用
应用余弦定理及其推论,并结合正弦定理,可以解决的三角形问题有:
(1)已知两边和它们的 解三角形;
(2)已知三角形的三边解三角形.夹角题型探究——典例剖析 举一反三题型一 余弦定理的简单应用
【例1】 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .?名师导引:先化简条件,再用余弦定理的推论求解.题后反思 在利用余弦定理解三角形时,应注意巧用“整体代入”,减少化简量,优化表述过程.答案:4题后反思 (1)三角形中,已知两边及一角解三角形有两种情况.
①三角形中已知两边和一边的对角,有两种解法.一是利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出第三边的长,这样可免去判断取舍的麻烦.二是直接运用正弦定理,先求角再求边.
②已知两边和两边夹角,直接应用余弦定理求出第三边,然后应用正弦定理或余弦定理推论求出另两角.
(2)已知三边或三边的比例关系,可由余弦定理的推论直接求解.题型三 利用余弦定理判断三角形形状
【例3】 在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试确定△ABC的形状.
名师导引:已知条件中,既有边的关系又有角的关系,可以用边化角或用角化边来判断.题后反思 判断三角形形状的两种途径.其一是利用正、余弦定理将条件中的角转化为边,通过因式分解、配方等方式得出边的关系,进而判断三角形的形状;其二是利用正、余弦定理将条件中的边转化为角,通过三角变换,得出各内角间的关系,进而判断三角形的形状.备选例题【例2】 设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC.
(1)求角A的大小;
(2)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长.达标检测——反馈矫正 及时总结1.在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,则角A等于( )
(A)60° (B)45° (C)120° (D)30°CB 3.在△ABC中,a=2,b=5,c=4,则△ABC的形状为 .?答案:钝角三角形4.在△ABC中,已知A=60°,最大边长和最小边长恰好是方程x2-7x+11=0的两根,则第三边的长为 .?
解析:设最大边长为m,最小边长为n,
则m+n=7,m·n=11,
由于A=60°,所以夹A的两边一边最大,一边最小,
∴a2=m2+n2-2mncos 60°=(m+n)2-3mn=49-33=16,
∴a=4,即第三边长为4.
答案:4课堂小结
1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题.
(1)已知两边和一角,解三角形.
(2)已知三边求三角形的任意一角.
2.判断三角形的形状,当所给的条件是边角混合关系时,基本解题思路:用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系,再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系;若统一为边之间的关系,再利用代数方法进行恒等变形、化简,找到边之间的关系.
