1.2 正余弦定理应用 教案
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文档简介
1.2
正余弦定理应用
教案
教学目标
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
2.三角形各种形状的判定方法；?
3.三角形面积定理的应用．
教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下：?
解斜三角形时可用的定理和公式
适用类型
备注
余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=b2+a2-2bacosC
(1)已知三边 (2)已知两边及其夹角
类型(1)(2)有解时只有一解
正弦定理
(3)已知两角和一边 (4)已知两边及其中一边的对角
类型(3)在有解时只有一解，类型(4)可有两解、一解或无解
三角形面积公式
(5)已知两边及其夹角
同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条：(1)化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；(2)化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．?
教学重点
1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；?
2.三角形各种形状的判定方法；?
3.三角形面积定理的应用．?
教学难点
1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向；?
2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；?
3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．?
教学过程
导入新课
师
前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容
(给出幻灯片1.1.3A).从幻灯片大体可以看出，正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.
推进新课
思考：在△ABC中，已知A=22cm，B=25cm，A=133°，解三角形．
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．?
【例1】在△ABC中，已知A，B，A，讨论三角形解的情况.?
师
分析：先由可进一步求出B；则C
=180°-(A+B)，从而.?
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．?
1.当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解．?
2.当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；?
如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：?
(1)若a＞bsinA，则有两解；?
(2)若a=bsinA，则只有一解；?
(3)若a＜bsinA，则无解．?
师
注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．?
(1)A为直角或钝角?
(2)A为锐角?
【例2】在△ABC中，已知a
=7，b=5，c
=3，判断△ABC的类型．?
分析：由余弦定理可知?
a2=b2+c2A是直角△ABC是直角三角形，?
a2＞b2+c2A是钝角△ABC是钝角三角形，?
a2＜b2+cA是锐角/△ABC是锐角三角形。?
(注意：A是锐角/
△ABC是锐角三角形
)?
解：∵72＞52+32，即a2＞b2+c2，?
∴△ABC是钝角三角形．?
[教师精讲]?
1．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题．?
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．?
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．?
2．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化．例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替．?
3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边角之间的转化．?
(1)已知三边，求三个角．?
(2)已知两边和夹角，求第三边和其他两角．?
4．用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式a2=b2+c2-2bccosA中含有未知数时，这便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求A或B或C或?cosA．?
课堂小结?
通过本节学习，我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断，其中，要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.?
(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
(2)三角形形状的判定方法.?
正余弦定理应用
教案
教学目标
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
2.三角形各种形状的判定方法；?
3.三角形面积定理的应用．
教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下：?
解斜三角形时可用的定理和公式
适用类型
备注
余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=b2+a2-2bacosC
(1)已知三边 (2)已知两边及其夹角
类型(1)(2)有解时只有一解
正弦定理
(3)已知两角和一边 (4)已知两边及其中一边的对角
类型(3)在有解时只有一解，类型(4)可有两解、一解或无解
三角形面积公式
(5)已知两边及其夹角
同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条：(1)化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；(2)化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．?
教学重点
1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；?
2.三角形各种形状的判定方法；?
3.三角形面积定理的应用．?
教学难点
1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向；?
2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；?
3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．?
教学过程
导入新课
师
前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容
(给出幻灯片1.1.3A).从幻灯片大体可以看出，正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.
推进新课
思考：在△ABC中，已知A=22cm，B=25cm，A=133°，解三角形．
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．?
【例1】在△ABC中，已知A，B，A，讨论三角形解的情况.?
师
分析：先由可进一步求出B；则C
=180°-(A+B)，从而.?
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．?
1.当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解．?
2.当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；?
如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：?
(1)若a＞bsinA，则有两解；?
(2)若a=bsinA，则只有一解；?
(3)若a＜bsinA，则无解．?
师
注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．?
(1)A为直角或钝角?
(2)A为锐角?
【例2】在△ABC中，已知a
=7，b=5，c
=3，判断△ABC的类型．?
分析：由余弦定理可知?
a2=b2+c2A是直角△ABC是直角三角形，?
a2＞b2+c2A是钝角△ABC是钝角三角形，?
a2＜b2+cA是锐角/△ABC是锐角三角形。?
(注意：A是锐角/
△ABC是锐角三角形
)?
解：∵72＞52+32，即a2＞b2+c2，?
∴△ABC是钝角三角形．?
[教师精讲]?
1．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题．?
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．?
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．?
2．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化．例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替．?
3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边角之间的转化．?
(1)已知三边，求三个角．?
(2)已知两边和夹角，求第三边和其他两角．?
4．用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式a2=b2+c2-2bccosA中含有未知数时，这便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求A或B或C或?cosA．?
课堂小结?
通过本节学习，我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断，其中，要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.?
(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
(2)三角形形状的判定方法.?