1.2 正余弦定理应用 学案（无答案）

1.2
正余弦定理应用
学案
学习目标
三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧
重点难点
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；
(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘
典型题例
例1在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
命题意图
本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力
知识依托
主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系
错解分析
考生对方位角识别不准，计算易出错
技巧与方法
主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题
解
(1)在Rt△PAB中，∠APB=60°
PA=1，∴AB=
(千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=
(千米)
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°
在△ACD中，据正弦定理得，
∴
答
此时船距岛A为千米
例2已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB()
(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)判断其单调性，并加以证明；
(3)求这个函数的值域
命题意图
本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力
知识依托
主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题
错解分析
考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题
技巧与方法
本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式
在求定义域时要注意||的范围
解
(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°
∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1
又4x2－3≠0，∴x≠，∴定义域为(，)∪(，1］
(2)设x1＜x2，
∴f(x2)－f(x1)==，
若x1，x2∈()，则4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，则4x12－3＞0
4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(，)和(，1上都是减函数
(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2
故f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞
巩固练习
1
给出四个命题
(1)若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；(4)若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC为正三角形
以上正确命题的个数是(
)
A
1
B
2
C
3
D
4
2
在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为__________
3
在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，则cos2(B+C)=__________
4
已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积
5
如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离
r的平方成反比，即I=k·，其中
k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？
6
在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，
(1)求角A的度数；
(2)若a=，b+c=3，求b和c的值
7
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又∠A－∠C=，试求∠A、∠B、∠C的值
8
在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD∶AB的值
9．在
中，
，则
等于(
)
　　A．　　B．
　　C．　　D．
10．如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？
11．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．
(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．
(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．
12．已知锐角△ABC中，sin(A+B)=，sin(A－B)=
(1)求证：tanA=2tanB；
(2)设AB=3，求AB边上的高