1.1.1 正弦定理 学案1（含答案）

1.1.1
正弦定理
学案
课时目标
1．熟记正弦定理的有关变形公式；
2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．
知识梳理
1．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：
(1)sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c；
(2)＝＝＝＝2R；
(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(4)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
2．三角形面积公式：S＝absin
C＝bcsin
A＝casin
B.
作业设计
一、选择题
1．在△ABC中，sin
A＝sin
B，则△ABC是(　　)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
答案　D
2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
答案　B
解析　由正弦定理知：＝＝，
∴tan
A＝tan
B＝tan
C，∴A＝B＝C.
3．在△ABC中，sin
A＝，a＝10，则边长c的取值范围是
(　　)
A.
B．(10，＋∞)
C．(0，10)
D.
答案　D
解析　∵＝＝，∴c＝sin
C.
∴04．在△ABC中，a＝2bcos
C，则这个三角形一定是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
答案　A
解析　由a＝2bcos
C得，sin
A＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B＋C)＝2sin
Bcos
C，
∴sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin
A∶sin
B∶sin
C等于(　　)
A．6∶5∶4
B．7∶5∶3
C．3∶5∶7
D．4∶5∶6
答案　B
解析　∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴＝＝.
令＝＝＝k
(k>0)，
则，解得.
∴sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为(　　)
A．1
B．2
C.
D．4
答案　A
解析　设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
得R＝1，由S△＝absin
C＝＝＝，∴abc＝1.
二、填空题
7．在△ABC中，已知a＝3，cos
C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
答案　2
解析　∵cos
C＝，∴sin
C＝，
∴absin
C＝4，∴b＝2.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.
答案　2
解析　由正弦定理＝，得＝，
∴sin
B＝，故B＝30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
答案　7
解析　∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
10．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.
答案　12　6
解析　＝＝＝12.
∵S△ABC＝absin
C＝×6×12sin
C＝18，
∴sin
C＝，∴＝＝12，∴c＝6.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
证明　因为在△ABC中，＝＝＝2R，
所以左边＝
＝＝＝＝右边．
所以等式成立，即＝.
12．在△ABC中，已知a2tan
B＝b2tan
A，试判断△ABC的形状．
解　设三角形外接圆半径为R，则a2tan
B＝b2tan
A
＝
＝
sin
Acos
A＝sin
Bcos
B
sin
2A＝sin
2B
2A＝2B或2A＋2B＝π
A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
能力提升
13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　)
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
答案　C
解析　设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，
∴＝
＝
＝＋＝＝＋，
∴tan
A＝1，A＝45°，C＝75°.
14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，
cos
＝，求△ABC的面积S.
解　cos
B＝2cos2
－1＝，
故B为锐角，sin
B＝.
所以sin
A＝sin(π－B－C)＝sin＝.
由正弦定理得c＝＝，
所以S△ABC＝acsin
B＝×2××＝.
反思感悟
1．在△ABC中，有以下结论：
(1)A＋B＋C＝π；
(2)
sin(A＋B)＝sin
C，cos(A＋B)＝－cos
C；
(3)＋＝；
(4)sin
＝cos
，cos
＝sin
，tan
＝.
2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．