1.1.1 正弦定理 学案4（无答案）

1.1.1
正弦定理
学案
学习目标
1.
掌握正弦定理的内容；
2.
掌握正弦定理的证明方法；
3.
会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
学习过程
一、课前准备
试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而
．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二、新课导学
※
学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.
如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有，，又，
从而在直角三角形ABC中，．
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD=，则，
同理可得，
从而．
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的
的比相等，即
．
试试：
(1)在中，一定成立的等式是(
)．
A．
B.
C.
D.
(2)已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于
．
[理解定理]
(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，b=ksinB，；
(2)等价于
，，．
(3)正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如；
．
(4)一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．
※
典型例题
例1.
在中，已知，，cm，解三角形．
变式：在中，已知，，cm，解三角形．
例2.
在．
变式：在．
三、总结提升
※
学习小结
1.
正弦定理：
2.
正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有
②等积法，③外接圆法，④向量法.
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．
※
知识拓展
，其中为外接圆直径.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为(
).
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
※
当堂检测(时量：5分钟
满分：10分)计分：
1.
在中，若，则是(
).
A．等腰三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
2.
已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于(
).
　A．1∶1∶4
B．1∶1∶2　
C．1∶1∶
D．2∶2∶
3.
在△ABC中，若，则与的大小关系为(
).
A.
B.
C.
≥
D.
、的大小关系不能确定
4.
已知ABC中，，则=
．
5.
已知ABC中，A，，则=
．
　
课后作业
1.
已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．
2.
已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k
(k≠0)，求实数k的取值范围为．