1.1.2 余弦定理 同步练习1（含答案）

1.1.2
余弦定理
同步练习
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.，或
D.，或
解析　由余弦定理，得cosB＝＝＝，又0答案　A
2．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝(　　)
A．3－
B.
C．2
D．3＋
解析　由正弦定理，知＝，∴BC＝＝＝3－.
答案　A
3．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B等于(　　)
A．105°
B．60°
C．15°
D．105°，或15°
解析　先用正弦定理求角C，由＝，得sinC＝＝＝.
又c>a，∴C＝45°，或135°，故B＝105°，或15°.
答案　D
4．已知三角形的三边之比为a：b：c＝2：3：4，则此三角形的形状为(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析　设三边长为2a，3a，4a(a>0)，它们所对的三角形内角依次为A，B，C.
则cosC＝＝－<0，
∴C为钝角．故该三角形为钝角三角形．
答案　B
5．在△ABC中，下列关系中一定成立的是(　　)
A．a>bsinA
B．a＝bsinA
C．aD．a≥bsinA
解析　在△ABC中，由正弦定理，知
a＝，∵0答案　D
6．△ABC中，已知2A＝B＋C，且a2＝bc，则△ABC的形状是(　　)
A．两直角边不等的直角三角形
B．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析　解法1：由2A＝B＋C，知A＝60°.
又cosA＝，∴＝
∴b2＋c2－2bc＝0.即(b－c)2＝0，∴b＝c.
故△ABC为等边三角形．
解法2：验证四个选项知C成立．
答案　C
7．在△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC的长为____________．
解析　由A＋B＋C＝180°，求得B＝60°.
∴＝ BC＝＝＝.
答案　
8．△ABC中，已知a＝，c＝3，B＝45°，则b＝________.
解析　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝2＋9－2××3×＝5，∴b＝.
答案　
9．在△ABC中，a＝2，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.
解析　∵cosC＝，∴sinC＝.又S△ABC＝absinC，
∴4＝×2×b×，∴b＝3.
答案　3
10．在△ABC中，a＋b＝10，而cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．
解　解方程2x2－3x－2＝0，得x1＝－，x2＝2，而cosC为方程2x2－3x－2＝0的一个根，∴cosC＝－.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c2＝a2＋b2＋ab.∴c2＝(a＋b)2－ab＝100－ab＝100－a(10－a)＝a2－10a＋100＝(a－5)2＋75≥75，∴当a＝b＝5时，cmin＝5.从而三角形周长的最小值为10＋5.
11．在△ABC中，如果lga－lgc＝lgsinB＝－lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状．
解　∵lgsinB＝－lg，∴sinB＝.又∵B为锐角，∴B＝45°.∵lga－lgc＝－lg，∴＝.
由正弦定理，得＝.
即2sin(135°－C)＝sinC.
∴2(sin135°cosC－cos135°sinC)＝sinC.
∴cosC＝0，∴C＝90°，∴A＝B＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
12．a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且(sinB＋sinC＋sinA)(sinB＋sinC－sinA)＝sinBsinC，边b和c是关于x的方程x2－9x＋25cosA＝0的两根(b>c)．
(1)求角A的正弦值；
(2)求边a，b，c；
(3)判断△ABC的形状．
解　(1)∵(sinB＋sinC＋sinA)(sinB＋sinC－sinA)＝sinBsinC，
由正弦定理，得(b＋c＋a)(b＋c－a)＝bc，
整理，得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理，得cosA＝＝，∴sinA＝.
(2)由(1)知方程x2－9x＋25cosA＝0可化为x2－9x＋20＝0，
解之得x＝5或x＝4，∵b>c，∴b＝5，c＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a＝3.
(3)∵a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形．