1.1.2 余弦定理 同步练习3（含答案）

1.1.2
余弦定理
同步练习
1．在△ABC中，若sinB：sinC＝3：4，则边c?b等于(　　)
A．4：3，或16：9
B．3：4
C．16：9
D．4：3
解析　由正弦定理＝，得＝＝.
答案　D
2．在△ABC中，已知a＝32，b＝16，∠A＝2∠B，则边长c等于(　　)
A．32
B．16
C．4
D．16
解析　由正弦定理，可得＝＝＝2cosB.∴cosB＝，∴B＝45°，A＝90°，∴c＝b＝16.
答案　B
3．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
解析　由正弦定理及题设条件，知＝＝.由＝，得sin(A－B)＝0.∵0答案　B
4．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于(　　)
A．6
B．2
C．3
D．4
解析　由余弦定理，得
AC2＝BC2＋AB2－2·AB·BC·cosB
＝62＋42－2×6×4×
＝36，∴AC＝6.
答案　A
5．有一长为10
m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是(　　)
A．5
B．10
C．10
D．10
解析　如图，设将坡底加长到C时，倾斜角为30°，在△ABC中，AB＝10
m，∠C＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°.
由正弦定理得＝.
即BC＝＝＝10(m)．
答案　C
6．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cosA＝－，则sinB＝________.
解析　∵cosA＝－，∴sinA＝.
由正弦定理，可得＝，
∴sinB＝＝×＝.
答案　
7．一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2
km/h，则经过
h，该船实际航程为________．
解析　如图所示，设O表示水流方向，O为船航行方向．则O为船实际航行方向．
由题意，知|A|＝4，|O|＝2，∠OAC＝60°，
在△OAC中，由余弦定理，
得OC2＝(4)2＋(2)2－2×4×2×＝36.
∴|OC|＝6.
答案　6
km
8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3
km到B处，再沿正东方向行走2
km到C处，则A，C两地距离为________
km.
解析　如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×3×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7
km.
答案　7
9．一蜘蛛沿东北方向爬行x
cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10
cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.
解析　如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10
cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，
则∠AOB＝60°，由正弦定理知：
x＝＝＝(cm)．
答案　
cm
10．如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝
km，当目标出现在B点时，测得∠BCD＝75°，∠CDB＝45°，求炮兵阵地与目标的距离．
解　∠CBD＝180°－∠CDB－∠BCD＝180°－45°－75°＝60°，
在△BCD中，由正弦定理，得
BD＝＝.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，
由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°
＝3＋2－2×××＝5＋2.
∴AB＝.
∴炮兵阵地与目标的距离为km.