1.1.2 余弦定理 同步练习4（含答案）

1.1.2
余弦定理
同步练习
课时目标
1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；
2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．
知识梳理
1．正弦定理及其变形
(1)＝＝＝2R.
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.
(3)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
(4)sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c.
2．余弦定理及其推论
(1)a2＝b2＋c2－2bccos_A.
(2)cos
A＝.
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2 C为直角；c2>a2＋b2 C为钝角；c23．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：
(1)A＋B＋C＝π，＝－.
(2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，
tan(A＋B)＝－tan_C.
(3)sin
＝cos
，cos
＝sin
.
作业设计
一、选择题
1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为(　　)
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
答案　C
解析　∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
∴a2＋b2－c2＝－ab，
即＝－，
∴cos
C＝－，∴∠C＝120°.
2．在△ABC中，若2cos
Bsin
A＝sin
C，则△ABC的形状一定是
(　　)
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
答案　C
解析　∵2cos
Bsin
A＝sin
C＝sin(A＋B)，
∴sin
Acos
B－cos
Asin
B＝0，
即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
3.在△ABC中，已知sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为
(　　)
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
答案　B
解析　∵a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶5∶7，
不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，
则cos
C＝＝－.
∴C＝120°.
∴最小外角为60°.
4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac，
2b＝a＋c，则此三角形是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
答案　D
解析　∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.
∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，
c＝a，则(　　)
A．a>b
B．aC．a＝b
D．a与b的大小关系不能确定
答案　A
解析　在△ABC中，由余弦定理得，
c2＝a2＋b2－2abcos
120°
＝a2＋b2＋ab.
∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.
∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.
6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．由增加的长度确定
答案　A
解析　设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，
则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2
＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴c＋x所对的最大角变为锐角．
二、填空题
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.
答案　
解析　由题意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos
C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
∴c＝.
8．设2a＋1，a，2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．
答案　2解析　∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1.
∵三角形为钝角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2，
化简得：02a＋1，
∴a>2，∴29．已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．
答案　12
解析　S△ABC＝AB·AC·sin
A
＝AB·AC·sin
60°＝2，
∴AB·AC＝8，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
A
＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC，
∴(AB＋AC)2＝BC2＋3AB·AC＝49，
∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12.
10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________．
答案　
解析　S△ABC＝bcsin
A＝c＝，
∴c＝4，
由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos
A
＝12＋42－2×1×4cos
60°＝13，
∴a＝.
∴2R＝＝＝，
∴R＝.∴S外接圆＝πR2＝.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
证明　右边＝＝·cos
B－·cos
A
＝·－·＝－＝＝左边．
所以＝.
12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB
=，
且·＝－21.
(1)求△ABC的面积；
(2)若a＝7，求角C.
解
(1)∵?·＝－21，∴?·=21.
∴·
=
||·||·cosB
=
accosB
=
21.
∴ac=35，∵cosB
=
，∴?sinB
=
.
∴S△ABC
=
acsinB
=
×35×
=
14.
(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos
B＝32，
∴b＝4.由正弦定理：＝.
∴sin
C＝sin
B＝×＝.
∵c∴C＝45°.
13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　　)
A．0B．0C.D.答案　A
解析　方法一　(应用正弦定理)
∵＝，∴＝
∴sin
C＝sin
A，∵0A≤1，
∴0C≤.
∵AB∴0方法二　(应用数形结合)
如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，
则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝，
∴014．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cos
B＝.
(1)求＋的值；
(2)设·
=
，求a+c的值.
解　(1)由cos
B＝，得sin
B＝＝.
由b2＝ac及正弦定理得sin2
B＝sin
Asin
C.
于是＋＝＋
＝＝
＝＝＝.
(2)由·
=
得ca·cosB
=
由cos
B＝，可得ca＝2，即b2＝2.
由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cos
B，
得a2＋c2＝b2＋2ac·cos
B＝5，
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.
反思感悟
1．解斜三角形的常见类型及解法
在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角(如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解．
两边和夹角(如a，b，C)
余弦定理正弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解．
三边(a，b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有一解时只有一解.
两边和其中一边的对角如(a，b，A)
余弦定理正弦定理
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．