1.2 应用举例 教案5
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文档简介
1.2
应用举例
教案
教学目标
知识与技能?
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
过程与方法?
通过将实际问题建立数学模型，使学生充分认识到建立数学模型的重要性，进行测量，掌握数学术语及数学作图方法，体会数学的严谨性.?
情感态度与价值观?
数学来源于生活，又应用于生活，一方面，三角形知识广泛应用于实际问题中，另一方面，实际问题的解决又推动了三角形的进一步完善和发展，通过亲自动手测量，写出实习报告等体会到数学市有用的，我能用数学，也能用好数学.
教学重点
分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法.
教学难点
实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．
教学建议
解三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．?
本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题.例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题.对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决．对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．?
导入新课一
湖北省十堰市郧县柳坡镇马蹄沟村，是一个世代被大山阻隔的小山村，在无法承载贫穷重负和生命重压之下，毅然决然以一己之力，用比较落后的方式，开始了一段长达五年的艰难的开山之旅。他们经历了令人难以想象的风险，终于打通了一条长400米的隧洞，从而大大拉近了闭塞小山村与现代大都市的时代距离。试思考，在隧洞未打通之前，我们如何测量小山村与大都市的距离？
导入新课二
师
前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离．
(第二课时
解决有关测量高度的问题)
三维目标
知识与技能?
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.
过程与方法?
本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.
情感态度与价值观?
进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.?
教学重点
1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；?
2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程．?
教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；
教学建议
本节的例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决，但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．在例3中是测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出点C观察A的仰角；在例4中是计算出AB的长；在例5中是计算出BC的长，然后转化为解直角三角形的问题．?
本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角的意义，二是要会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题．
导入新课一
塞乐斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名世界的大数学家.他原是一位很精明的商人，靠卖橄榄油积累了相当财富后，塞乐斯便专心从事科学研究和旅行.他游历埃及时，曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及国王阿美西斯钦羡不已.
塞乐斯的方法既巧妙又简单：选一个天气晴朗的日子，在金字塔边竖立一根小木棍，然后观察木棍阴影的长度变化，等到阴影长度恰好等于木棍长度时，赶紧测量金字塔影的长度，因为在这一时刻，金字塔的高度也恰好与塔影长度相等。
导入新课二
设问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.?
(第三课时
解决有关测量角度的问题)
三维目标
知识与技能?
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.
过程与方法?
本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的1～2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．
情感态度与价值观?
培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神.?
教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．?
教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.
教学建议
本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法．
导入新课一
课前放映一些有关军事题材的图片，并在课首给出引例：一天，我核潜艇A正在某海域执行巡逻任务，突然发现其正东处有一敌艇B正以30海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。经研究，决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时，问怎样确定发射角度可击中敌舰？
导入新课二
师
前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的生活中，人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？?
生
像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向.
?
生
飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标.?
师
实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题．
(第四课时
解决有关三角形计算的问题)
三维目标
知识与技能?
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．??
过程与方法?
1.本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型；?
2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．??
情感态度与价值观?
1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；?
2．进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦.
教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.
教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.
教学建议
本节的例7和例8说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法，即在不同已知条件下求三角形面积的问题，与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识，求出需要的元素，从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个重要的问题.在西方有海伦公式，在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”，教科书在阅读与思考中对此作了介绍，在习题中要求学生加以证明．例9是关于三角形边角关系恒等式的证明问题，课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练，教科书例题限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题.
?
关于三角形的有关几何计算，教科书涉及了三角形的高和面积的问题，教科书直接给出了计算三角形的高的公式?
hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA.?
这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到，教科书证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式?
S=
absinC，S=
bcsinA，S=casinB.
导入新课一
复习引入
1、正弦定理：
2、余弦定理：
，
导入新课二
[设置情境]?
师
以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式．在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为hA、hB、hC，那么它们如何用已知边和角表示？?
生hA=bsinC=csinB，?
hB=csinA=asinC，?
hC=asinB=BsinA.?
师
根据以前学过的三角形面积公式，应用以上求出的高的公式如hA=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式：，大家能推出其他的几个公式吗？?
生
同理，可得，.?
师
除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？?
生
如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.
应用举例
教案
教学目标
知识与技能?
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
过程与方法?
通过将实际问题建立数学模型，使学生充分认识到建立数学模型的重要性，进行测量，掌握数学术语及数学作图方法，体会数学的严谨性.?
情感态度与价值观?
数学来源于生活，又应用于生活，一方面，三角形知识广泛应用于实际问题中，另一方面，实际问题的解决又推动了三角形的进一步完善和发展，通过亲自动手测量，写出实习报告等体会到数学市有用的，我能用数学，也能用好数学.
教学重点
分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法.
教学难点
实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．
教学建议
解三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解三角形的实际问题，我们要在理解一些术语(如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．?
本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题.例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题.对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决．对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．?
导入新课一
湖北省十堰市郧县柳坡镇马蹄沟村，是一个世代被大山阻隔的小山村，在无法承载贫穷重负和生命重压之下，毅然决然以一己之力，用比较落后的方式，开始了一段长达五年的艰难的开山之旅。他们经历了令人难以想象的风险，终于打通了一条长400米的隧洞，从而大大拉近了闭塞小山村与现代大都市的时代距离。试思考，在隧洞未打通之前，我们如何测量小山村与大都市的距离？
导入新课二
师
前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离．
(第二课时
解决有关测量高度的问题)
三维目标
知识与技能?
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.
过程与方法?
本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.
情感态度与价值观?
进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.?
教学重点
1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；?
2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程．?
教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；
教学建议
本节的例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决，但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．在例3中是测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出点C观察A的仰角；在例4中是计算出AB的长；在例5中是计算出BC的长，然后转化为解直角三角形的问题．?
本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角的意义，二是要会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题．
导入新课一
塞乐斯生于公元前624年，是古希腊第一位闻名世界的大数学家.他原是一位很精明的商人，靠卖橄榄油积累了相当财富后，塞乐斯便专心从事科学研究和旅行.他游历埃及时，曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及国王阿美西斯钦羡不已.
塞乐斯的方法既巧妙又简单：选一个天气晴朗的日子，在金字塔边竖立一根小木棍，然后观察木棍阴影的长度变化，等到阴影长度恰好等于木棍长度时，赶紧测量金字塔影的长度，因为在这一时刻，金字塔的高度也恰好与塔影长度相等。
导入新课二
设问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.?
(第三课时
解决有关测量角度的问题)
三维目标
知识与技能?
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.
过程与方法?
本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的1～2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．
情感态度与价值观?
培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神.?
教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．?
教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.
教学建议
本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法．
导入新课一
课前放映一些有关军事题材的图片，并在课首给出引例：一天，我核潜艇A正在某海域执行巡逻任务，突然发现其正东处有一敌艇B正以30海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。经研究，决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时，问怎样确定发射角度可击中敌舰？
导入新课二
师
前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的生活中，人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？?
生
像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向.
?
生
飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标.?
师
实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题．
(第四课时
解决有关三角形计算的问题)
三维目标
知识与技能?
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．??
过程与方法?
1.本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型；?
2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．??
情感态度与价值观?
1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；?
2．进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦.
教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.
教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.
教学建议
本节的例7和例8说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法，即在不同已知条件下求三角形面积的问题，与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识，求出需要的元素，从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个重要的问题.在西方有海伦公式，在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”，教科书在阅读与思考中对此作了介绍，在习题中要求学生加以证明．例9是关于三角形边角关系恒等式的证明问题，课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练，教科书例题限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题.
?
关于三角形的有关几何计算，教科书涉及了三角形的高和面积的问题，教科书直接给出了计算三角形的高的公式?
hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA.?
这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到，教科书证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式?
S=
absinC，S=
bcsinA，S=casinB.
导入新课一
复习引入
1、正弦定理：
2、余弦定理：
，
导入新课二
[设置情境]?
师
以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式．在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为hA、hB、hC，那么它们如何用已知边和角表示？?
生hA=bsinC=csinB，?
hB=csinA=asinC，?
hC=asinB=BsinA.?
师
根据以前学过的三角形面积公式，应用以上求出的高的公式如hA=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式：，大家能推出其他的几个公式吗？?
生
同理，可得，.?
师
除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？?
生
如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.