湖南省郴州市中学2015-2016学年九年级下期中数学试卷含答案解析

2015-2016学年湖南省郴州市XX中学九年级（下）期中数学试卷
　
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．的相反数是（　　）
A．
B．2016
C．﹣
D．﹣2016
2．计算（﹣3）2的结果是（　　）
A．﹣6
B．6
C．﹣9
D．9
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2=a4
B．（a2）3=a5
C．2a﹣a=2
D．（ab）2=a2b2
4．下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形
B．平行四边形
C．矩形
D．等腰梯形
6．已知圆锥的母线长为3，底面的半径为2，则圆锥的侧面积是（　　）
A．4π
B．6π
C．10π
D．12π
7．某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是（　　）
A．8，8
B．8.4，8
C．8.4，8.4
D．8，8.4
8．如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（　　）
A．
B．2
C．3
D．3
　
二、填空题．（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．根据相关部门统计，2014年我国共有9390000名学生参加高考，9390000用科学记数法表示为　　．
10．若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则m　　n（填“＞”“＜”或“=”号）．
11．分解因式：2x2﹣2=　　．
12．函数中自变量x的取值范围是　　．
13．如图，在△ABC中，若E是AB的中点，F是AC的中点，∠B=50°，则∠AEF=　　．
14．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=　　．
15．在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为　　．
16．如图，按此规律，第6行最后一个数字是　　，第　　行最后一个数是2014．
　
三、解答题（17～19每题6分，20～23每题8分，24～25每题10分，26题12分，共82分）
17．计算：（1﹣）0+（﹣1）2016﹣tan30°+（）﹣2．
18．解方程组．
19．在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．
（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．
20．林城市对教师试卷讲评课中学生参与的深度和广度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次评价中，一共抽查了　　名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）如果全市有16万名初中学生，那么在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有多少万人？
21．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
A型
B型
价格（万元/台）
12
10
月污水处理能力（吨/月）
200
160
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．
（1）该企业有几种购买方案？
（2）哪种方案更省钱，说明理由．
22．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）
23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．
24．先阅读，后解答：
===3+
像上述解题过程中，﹣与+相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，
（1）的有理化因式是　　；
+2的有理化因式是　　．
（2）将下列式子进行分母有理化：
=　　；
=　　．
（3）已知a=，b=2﹣，比较a与b的大小关系．
25．如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的 DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出 DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
26．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t
s，解答下列问题：
（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？
（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．
　
2015-2016学年湖南省郴州市XX中学九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．的相反数是（　　）
A．
B．2016
C．﹣
D．﹣2016
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：C．
　
2．计算（﹣3）2的结果是（　　）
A．﹣6
B．6
C．﹣9
D．9
【考点】有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
【解答】解：（﹣3）2=（﹣3）×（﹣3）=9．
故选：D．
　
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2=a4
B．（a2）3=a5
C．2a﹣a=2
D．（ab）2=a2b2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项．
【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项等运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、a2+a2=2a2，原式错误，故本选项错误；
B、（a2）3=a6，原式错误，故本选项错误；
C、2a﹣a=a，原式错误，故本选项错误；
D、（ab）2=a2b2，原式正确，故本选项正确．
故选D．
　
4．下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图，从而得出都是正方体的几何体．
【解答】解：A、正方体的主视图、左视图、俯视图都正方形，符合题意；
B、圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆，不符合题意；
C、圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点，不符合题意；
D、球的主视图、左视图、俯视图都是圆，不符合题意．
故选A．
　
5．以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形
B．平行四边形
C．矩形
D．等腰梯形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形．
故选：C．
　
6．已知圆锥的母线长为3，底面的半径为2，则圆锥的侧面积是（　　）
A．4π
B．6π
C．10π
D．12π
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥的侧面积= 2π 2 3=6π．
故选：B．
　
7．某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是（　　）
A．8，8
B．8.4，8
C．8.4，8.4
D．8，8.4
【考点】中位数；算术平均数．
【分析】根据平均数公式求解即可，即用所有数据的和除以5即可；5个数据的中位数是排序后的第三个数．
【解答】解：8，9，8，7，10的平均数为×（8+9+8+7+10）=8.4．
8，9，8，7，10排序后为7，8，8，9，10，
故中位数为8．
故选B．
　
8．如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（　　）
A．
B．2
C．3
D．3
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】利用翻折变换的性质得出：∠1=∠2=30°，进而结合锐角三角函数关系求出FE的长．
【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1=∠2=30°，则∠3=30°，
可得∠4=∠5=60°，
∵AB=DC=BE=3，
∴tan60°===，
解得：EF=．
故选：A．
　
二、填空题．（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．根据相关部门统计，2014年我国共有9390000名学生参加高考，9390000用科学记数法表示为　9.39×106　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9390000用科学记数法表示为9.39×106，
故答案为：9.39×106．
　
10．若点P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则m　＜　n（填“＞”“＜”或“=”号）．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣1 m=k，﹣2 n=k，解得m=﹣k，n=﹣，然后利用k＞0比较m、n的大小．
【解答】解：∵P1（﹣1，m），P2（﹣2，n）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴﹣1 m=k，﹣2 n=k，
∴m=﹣k，n=﹣，
而k＞0，
∴m＜n．
故答案为：＜．
　
11．分解因式：2x2﹣2=　2（x+1）（x﹣1）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：2x2﹣2=2（x2﹣1）=2（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2（x+1）（x﹣1）．
　
12．函数中自变量x的取值范围是　x≥2　．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
　
13．如图，在△ABC中，若E是AB的中点，F是AC的中点，∠B=50°，则∠AEF=　50°　．
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AEF=∠B．
【解答】解：∵E是AB的中点，F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B=50°．
故答案为：50°．
　
14．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=　30°　．
【考点】圆周角定理．
【分析】由∠ACB是⊙O的圆周角，∠AOB是圆心角，且∠AOB=60°，根据圆周角定理，即可求得圆周角∠ACB的度数．
【解答】解：如图，∵∠AOB=60°，
∴∠ACB=∠AOB=30°．
故答案是：30°．
　
15．在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为　　．
【考点】列表法与树状图法；完全平方式．
【分析】先画树状图展示所有四种等可能的结果数，再根据完全平方式的定义得到“++”和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有四种等可能的结果数，其中“++”和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式，
所以所得的代数式为完全平方式的概率==．
故答案为．
　
16．如图，按此规律，第6行最后一个数字是　16　，第　672　行最后一个数是2014．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】每一行的最后一个数字分别是1，4，7，10…，易得第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此求得第6行最后一个数字，建立方程求得最后一个数是2014在哪一行．
【解答】解：每一行的最后一个数分别是1，4，7，10…，
第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，
∴第6行最后一个数字是3×6﹣2=16；
3n﹣2=2014
解得n=672．
因此第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．
故答案为：16，672．
　
三、解答题（17～19每题6分，20～23每题8分，24～25每题10分，26题12分，共82分）
17．计算：（1﹣）0+（﹣1）2016﹣tan30°+（）﹣2．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，乘方的意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1+1﹣1+9=10．
　
18．解方程组．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
①+②得，4x=20，
解得x=5，
把x=5代入①得，5﹣y=8，
解得y=﹣3，
所以方程组的解是．
　
19．在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．
（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．
【考点】作图-位似变换．
【分析】（1）利用位似图形的性质即可位似比为2，进而得出各对应点位置；
（2）利用所画图形得出对应点坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）△A′B′C′的各顶点坐标分别为：A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．
　
20．林城市对教师试卷讲评课中学生参与的深度和广度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次评价中，一共抽查了　560　名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）如果全市有16万名初中学生，那么在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有多少万人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据扇形统计图专注听讲的百分比与条形统计图中专注听讲的人数，列式计算即可；
（2）用被抽查的学生人数减去主动质疑、独立思考、专注听讲的人数，求出讲解题目的人数，然后补全统计图即可；
（3）用独立思考的学生的百分比乘以16万，进行计算即可得解．
【解答】解：（1）224÷40%=560名；
（2）讲解题目的学生数为：560﹣84﹣168﹣224=560﹣476=84，
补全统计图如图；
（3）×16=4.8万，
答：在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有4.8万人．
　
21．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
A型
B型
价格（万元/台）
12
10
月污水处理能力（吨/月）
200
160
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．
（1）该企业有几种购买方案？
（2）哪种方案更省钱，说明理由．
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．
（2）计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案．
【解答】解：设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，
根据题意，得
，
解这个不等式组，得：2.5≤x≤4.5．
∵x是整数，
∴x=3或x=4．
当x=3时，8﹣x=5；
当x=4时，8﹣x=4．
答：有2种购买方案：第一种是购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备；
第二种是购买4台A型污水处理设备，4台B型污水处理设备；
（2）当x=3时，购买资金为12×3+10×5=86（万元），
当x=4时，购买资金为12×4+10×4=88（万元）．
因为88＞86，
所以为了节约资金，应购污水处理设备A型号3台，B型号5台．
答：购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备更省钱．
　
22．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】在Rt△CDB中求出BD，在Rt△CDA中求出AD，继而可得AB，也即此时渔政船和渔船的距离．
【解答】解：在Rt△CDA中，∠ACD=30°，CD=3000米，
∴AD=CDtan∠ACD=1000米，
在Rt△CDB中，∠BCD=60°，
∴BD=CDtan∠BCD=3000米，
∴AB=BD﹣AD=2000米．
答：此时渔政船和渔船相距2000米．
　
23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠CDB，然后求出∠ABE=∠CDF，再利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴180°﹣∠ABD=180°﹣∠CDB，
即∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF．
　
24．先阅读，后解答：
===3+
像上述解题过程中，﹣与+相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，
（1）的有理化因式是　　；
+2的有理化因式是　﹣2　．
（2）将下列式子进行分母有理化：
=　　；
=　1﹣　．
（3）已知a=，b=2﹣，比较a与b的大小关系．
【考点】分母有理化；实数大小比较．
【分析】（1）根据题意找出各式的有理化因式即可；
（2）各式分母有理化即可；
（3）把a分母有理化，比较即可．
【解答】解：（1）的有理化因式是，
+2的有理化因式是﹣2；
故答案为：；﹣2；
（2）原式=；原式==1﹣；
故答案为：；1﹣；
（3）a==2﹣=b．
　
25．如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的 DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出 DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系数法，求出抛物线的表达式即可；
（2）利用两点间的距离公式分别计算出OA=4，OB=4，CB=2，CA=2，则OA=OB，CA=CB，根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
（3）如图2，利用两点间的距离公式分别计算出AB=4，OC=6，设D（t，0），根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EF∥DG，EF=DG，再由OC垂直平分AB得到△OBC与△OAC关于OC对称，则可判断EF和DG为对应线段，所以四边形DEFG为矩形，DG∥OC，则DE∥AB，于是可判断△ODE∽△OAB，利用相似比得DE=t，接着证明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG=（4﹣t），所以矩形DEFG的面积=DE DG=t （4﹣t）=﹣3t2+12t，然后根据二次函数的性质求平行四边形DEFG的面积的最大值，从而得到此时D点坐标．
【解答】解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得，解得，
∴抛物线的表达式为y=x2﹣x+4；
（2）如图1，连结AB、OC，
∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），
∴OA=4，OB=4，CB==2，CA==2，
∴OA=OB，CA=CB，
∴OC垂直平分AB，
即四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
（3）能．
如图2，AB==4，OC==6，设D（t，0），
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴EF∥DG，EF=DG，
∵OC垂直平分AB，
∴△OBC与△OAC关于OC对称，
∴EF和DG为对应线段，
∴四边形DEFG为矩形，DG∥OC，
∴DE∥AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴=，即=，解得DE=t，
∵DG∥OC，
∴△ADG∽△AOC，
∴=，即=，解得DG=（4﹣t），
∴矩形DEFG的面积=DE DG=t （4﹣t）=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12，
当t=2时，平行四边形DEFG的面积最大，最大值为12，此时D点坐标为（2，0）．
　
26．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t
s，解答下列问题：
（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？
（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）通过比较线段AB，BC的大小，找出较短的线段，根据速度公式可以直接求得；
（2）由已知条件，把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S的最值；
（3）根据等腰三角形的性质和余弦公式列出等式求解，即可求的结论．
【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，
∵DC∥AB，DA⊥AB，
∴四边形AECD是矩形，
∴AE=CD=5，CE=AD=4，
∴BE=3，
∴BC=，
∴BC＜AB，
∴P到C时，P、Q同时停止运动，
∴t=（秒），
即t=5秒时，P，Q两点同时停止运动．
（2）由题意知，AQ=BP=t，
∴QB=8﹣t，
作PF⊥QB于F，则△BPF～△BCE，
∴，即，
∴BF=，
∴S=QB PF=×（8﹣t）==﹣（t﹣4）2+（0＜t≤5），
∵﹣＜0，
∴S有最大值，当t=4时，S的最大值是；
（3）∵cos∠B=，
①当PQ=PB时（如图2所示），则BG=BQ，
==，解得t=s，
②当PQ=BQ时（如图3所示），则BG=PB，
==，解得t=s，
③当BP=BQ时（如图4所示），则8﹣t=t，
解得：t=4．
综上所述：当t=s，
s或t=4s时，△PQB为等腰三角形．
　
2016年11月23日
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