2017中考数学 计数方法 专题复习考点讲解(含答案)

计数方法
考点图解
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技法透析
　　1．计数
计数，通俗地说就是数数，即把我们研究的对象的个数数出来．在计数时应遵循的原则是：既不重复也不遗漏．
2．计数问题中常运用的方法
(1)穷举计数法：当研究对象比较简单数目也不大时，穷举法是最基本而又简单的方法，即把对象的所有可能一一列举出来，最后再求出总数．
(2)分类计数法：将研究对象按一定标准分类，然后逐步计数，得出总数，这种方法要用到加法原理．
(3)分步计数法：当研究对象较复
( http: / / www.21cnjy.com )杂时，为了有序而又正确地思维，我们需要将其分成若干步，然后将每一步的方法数相乘，便可得出总数，这种方法要用到乘法原理．
(4)递推过渡法：当研究的对象数目
( http: / / www.21cnjy.com )较多又比较复杂时，我们常通过对较少数量对象的观察，采用从简单到复杂，从特殊到一般，探究其变化的规律，最后计算出总数．
(5)加法原理和乘法原理：当研究的对象比较复杂，且数目较大时，计数时常常要用到如下两原理：
①加法原理：完成一件事情，共有n类
( http: / / www.21cnjy.com )办法，第一类办法中又有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，第三类办法中又有m3种不同的方法……，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有：m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法．
②乘法原理：完成一件事情，
( http: / / www.21cnjy.com )共分n个步骤，第一步中又有m1种不同方法，第二步中又有m2种不同方法，第三步中又有m3种不同方法……．第n步中有mn种不同方法，那么完成这件事情共有：m1·m2·m3…·mn种不同方法．
3．几何计数问题
(1)简单图形个数的计算：这类
( http: / / www.21cnjy.com )问题中出现的图形的组成一般比较简单，没有过多的限制条件，但图形数量和计算量都很大，此类计数问题通常需要根据具体问题寻求一定的规律和运用一定的计数方法来解决．
(2)条件图形个数的计算：
( http: / / www.21cnjy.com )这类问题的图形数目较多且较复杂，所求的是满足某种限制条件的几何图形的个数，解决此类问题的关键是对限制条件的分析，这些条件的要求往往决定了所求图形的不同情况和种类，此为分类计数的重要依据．
(3)分割或包围图形个数的计算：它
( http: / / www.21cnjy.com )们是指用一类几何图形（如直线）去分割另一类几何图形（如平面或其他封闭图形），或者一类封闭图形包含另一类封闭图形，解决此类问题，除了掌握必要的分割与包含的几何知识之外，还需要借助有关统计的方法和技巧．
名题精讲
考点1　分类枚举法计数
例1
　在1到300这300个自然数中，不含有数字3的自然数有_______个．
【切题技巧】　利用分类枚举法，按数的
( http: / / www.21cnjy.com )位数分类；即不含有数字3的一位数有几个；不含数字3的两位数有几个；不含数字3的三位数有几个，最后求出总数．
【规范解答】　∵不
( http: / / www.21cnjy.com )含有数字3的一位数有8个；不含有数字3的两位数有72个；不含有数字3的三位数有162个．∴不含有数字3的自然数共有8＋72＋162＝242个．
【借题发挥】　分
( http: / / www.21cnjy.com )类枚举法就是将所研究对象按某一标准分类，然后把研究对象的各种可能一一列举出来，最后数出总数的方法，这种方法要用到加法原理．在运用枚举法时，必须无一重复，无一遗漏，且枚举法常与分类讨论结合运用，故称为分类枚举法．
【同类拓展】　1．在1000以内的自然数中，各位数字之和等于16的有多少个？
考点2　分步法计数
例2
　某城市街道如图，一个居民要从A处前往B处，
如果规定，只能沿从左向右或从上向下的方向走，那么该居
民共有几条可选择的路线？
【切题技巧】　本例看起来复杂，但可以从简单情况入手
寻找规律，按从上向下，从左向右的顺序，从简单情况分步来
看复杂问题．如先考虑简单情况如图(1)中的正方形，可知以A
到C的方法有2种，再考虑如图(2)中的情况，可以从A到D的方法共有3种……
【规范解答】　从简单情况入手，先考虑如
( http: / / www.21cnjy.com )图(1)中的小正方形，不难发现，从A到C共有2种方法；再考虑如图(2)中的情况，同样可知：从A到D共有3种方法……从而可总结出下述规律：到右下角终点的走法等于它所在小正方形右上角和左下角走法之和，故依次标出每个小正方形的走法不断累加，即可得到答案．
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由图(3)可知共有40种走法．
【借题发挥】　(1)分步计数法
( http: / / www.21cnjy.com )就是指当所研究对象较复杂时，为了有序而又正确地思维，将问题分成若干步，最后求出各步的总数．(2)在利用分步法计数时，要克服盲目性和随意性，一定要按照法则或顺序进行、从简单情况人手分步来思考复杂问题是解决问题的常用技巧．(3)分步法常与分类法结合求解．
【同类拓展】　2．在期中考试中，同
( http: / / www.21cnjy.com )学甲、乙、丙、丁分别获得第一、第二、第三、第四名，在期末考试中，他们又是班上的前四名，如果他们当中只有一位的排名与期中考试的排名相同，那么排名情况有_______种可能；如果他们排名都与期中考试中的排名不同，那么排名情况有_______种可能．
考点3
递推过渡法计数
例3
　小美步行上楼的习惯是每次都只跨一级或两级，若她要从地面（0级）步行到第9级，问她共有多少种不同的上楼梯的方式．
【切题技巧】　因为楼梯台阶较多，
( http: / / www.21cnjy.com )我们可以先考虑以简单入手．(1)若只有1级台阶，则只有唯一上楼梯方式；(2)若有2级台阶，则有两种上楼梯的方式：①一级一级地上；②一步两级地上；(3)若有3级台阶，则有三种上楼梯的方式：①一级一级地上，②先一级后2级地上，③先2级后1级地上……如此类推．
【规范解答】　设小美上第n级
( http: / / www.21cnjy.com )楼梯有an种上法，通过分析易知a1＝1，a2＝2，a4＝5，an＋2＝an＋1＋an，n＝1，2，3，…，从而递推可得：a5＝8，a6＝13，a7＝21，a8＝34，a9＝55．所以小美共有55种不同的上楼梯的方式．
【借题发挥】　(1)当研究对象
( http: / / www.21cnjy.com )比较复杂时，要很自然地想到从特殊到一般的思维方式．即从特殊的简单的情况人手探索变化的规律，(2)用递推过渡法计数时先要从最简单情况和特殊情况入手分析，发挥观察、归纳猜想的思想方法，最终探索出变化规律，且在探索一般的规律时，应注意抓住问题的实质为最后计数提供依据．
【同类拓展】　3．平面上n个圆（n为正整数），最多能把平面分成多少个部分？
考点4　加法原理和乘法原理法计数
例4
观察如图所示的图形：
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根据图(1)、(2)、(3)的规律，则图(4)中三角形的个数为_______．
【切题技巧】　通过观察
( http: / / www.21cnjy.com )知：图(1)中三角形的个数为：1＋4＝5（个）；图(2)中三角形的个数为：1＋4＋3×4＝17（个）；图(3)中三角形的个数为1＋4＋3×4＋32×4＝53（个），由图(1)(2)(3)中三角形的个数的规律，可知图(4)中三角形的个数为1＋4＋3×4＋32×4＋33×4＝1＋4＋12＋36＋108＝161（个）
【规范解答】　
161个
【借题发挥】　(1)按本例中图
( http: / / www.21cnjy.com )(1)、(2)、(3)……的图形规律，则图（n）中三角形的个数为：1＋4＋3×4＋32×4＋33×4＋…＋3n－1×4（个）．
(2)当研究对象为比较复杂的计数问题中，我们常需要用到加法原理与乘法原理，而且还需要对研究对象进行分析，从简单情形入手，通过观察、归纳、猜想，最后找出其变化规律，再依据规律计算其个数．
【同类拓展】　4．一个三角形最多将
( http: / / www.21cnjy.com )平面分成两部分，两个三角形最多将平面分成8个部分，10个三角形最多将平面分成多少个部分？n个三角形呢？
例5　分正方形ABCD的每条边为四等分，取分点（不包括正方形的四个顶点）为顶点可以画出多少个三角形？
【切题技巧】　显然构
( http: / / www.21cnjy.com )成三角形的3个顶点不可能共线，即3个顶点不可能在正方形的同一边上，故最多有2个顶点在正方形的同一边上；又因为三角形顶点只能取分点，故必须在正方形的边上．因此只有两种情况：(1)三角形的顶点分别在正方形的三边长；(2)三角形的顶点分别在正方形的两条边上．
【规范解答】　分两类计算：
(1)第一类：如图(1)三角形的顶点分
( http: / / www.21cnjy.com )别在正方形的在三条边上．首先，从4条边中取3条有4种取法；其次从每条边上取一点，各有3种取法，故总共计有4×3×3×3＝108（个）三角形．
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(2)第二类如图(2)，三角形
( http: / / www.21cnjy.com )的两个顶点位于正方形的一条边上，而第三个顶点在正方形的另一条边上．首先，从4条边取1条有4种取法，在这边3个分点中取2点，也有3种取法；其次，从其余3边中的9点中取1点，有9种取法，故共有4×3×9＝108（个）三角形．
综上所述，两类合计，共有216个三角形．
【借题发挥】　(1)在使用加法原
( http: / / www.21cnjy.com )理和乘法原理时一定要明确两者的不同之处：在用加法原理时，完成一件事有n类方法，都能完成这件事，而用乘法原理时，完成一件事情可分为n步，只有每一步都完成了，这件事情才得以完成．(2)运用加法原理的关键在于合理适当地进行分类，使所分类既不重复又不遗漏；而运用乘法原理的关键
在于分步骤，要正确地设计分步程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．
【同类拓展】　5．至少有两个数字相同的三位数共有(
)个．
A．280
B．180
C．252
D．396
参考答案
1．69个．　
2．9（种）．
3．n2－n＋2（个部分）．
4．10个三角形最多将平面分成272个部分，n个三角形最多将平面分成(3n2－3n＋2)个部分．　
5．C