课件13张PPT。19．1 矩形19．1.1 矩形的性质 第1课时 矩形的性质∠A＝90°(答案不唯一)知识点1：矩形的定义
1．已知四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的定义，则添加一个条件：________________________，可使它成为矩形．平行四边两组对边分别相等的四边形是平行四边形2．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①)，使AB＝CD，EF＝GH；
(2)摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是____________形，根据的数学道理是：________________________________________；
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格，这时窗框是______形，根据的数学道理是：_____________________________________．矩有一个角是直角的平行四边形是矩形A C4．如图所示，矩形ABCD中，点E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．55．如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，求证：∠EBC＝∠ECB.
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD.∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△ABE≌△DCE，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECBD 知识点3：矩形的对角线相等
6．(2015·益阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝ADB D 489．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连结CE，已知△CDE的周长为24 cm，则矩形ABCD的周长是__ __cm.10．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，若∠EAO＝15°，求∠BOE的度数．
解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，从而∠OAB＝45°＋15°＝60°，易证OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝AB，易证△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB，∴OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO，又∵∠OBE＝90°－60°＝30°，∴∠BOE＝75°B 11．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在边EF上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )
A．S1＞S2 B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( )
A．12 B．10 C．8 D．6B 14．(2015·海南)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，则图中五个小矩形的周长之和为__ __．D1415．如图，矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，E是边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F，G.则PF＋PG的长为__ __cm.
16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.317．在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝DC.
解：连结DE，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠DEF，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADE，∴∠DEF＝∠DEC，又∵∠DFE＝∠DCE＝90°，DE＝DE，∴△DEF≌△DEC，∴DF＝DC18．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD＝BE；
(2)若∠DBC＝30°，BO＝1，求四边形ABED的面积．课件9张PPT。19．1 矩形19．1.1 矩形的性质 第2课时 矩形的性质的应用10知识点：利用矩形的性质进行相关计算
1．如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则AC的长为_____．
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AOD的周长为_____cm. 18D3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOB＝60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )
A．2条 B．4条 C．5条 D．6条
4．如图，矩形ABCD中，M为CD中点，今以B，M为圆心，分别以BC长，MC长为半径画弧，两弧相交于点P，若∠PBC＝70°，则∠MPC的度数为( )
A．20° B．35° C．40° D．55°BB5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为( )
A．6 B．3 C．2 D．1A B7．如图，矩形ABCD的对角线AC⊥OF，边CD在OE上，∠BAC＝70°，则∠EOF等于( )
A．10° B．20°
C．30° D．70°8．如图，点P是矩形ABCD内的任意一点，连结PA，PB，PC，PD，得到△PAD，△PAB，△PBC，△PCD，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，给出如下结论：①S1＋S2＝S3＋S4；②S2＋S4＝S1＋S3；③若S3＝2S1，则S4＝2S2；④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是_______ (把所有正确结论的序号都填在横线上)．②④9．(2015·南平)如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
求证：BE＝CF.
解：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，则BO＝CO.∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∵∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF.∴BE＝CF10．(2015·乐山改编)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的的点F处，DF交BC于点E.
(1)求证：△DCE≌△BFE；
(2)若CD＝3，∠ADB＝30°，求BE的长．课件15张PPT。19．1 矩形19．1.2 矩形的判定第1课时 矩形的判定C知识点1：有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A．AB＝BC
B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90°
D．∠1＝∠2CAD＝BC或AB∥CD3．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是__________________．(写出一种情况即可)
4．(2015·聊城)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连结CE.求证：四边形BECD是矩形．
解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD，∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE＝AD，∴BE∥CD，BE＝CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴四边形BECD是矩形D知识点2：有三个角是直角的四边形是矩形
5．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．任选三个内角测量其是否都为直角A127．如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为______．
8．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A，C两点，过A，C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B，D，则四边形ABCD是_______．矩形B知识点3：对角线相等的平行四边形是矩形
9．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD是矩形的是( )
A．AO＝CO，BO＝DO
B．AO＝BO＝CO＝DO
C．AC＝BD，AO＝CO
D．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD
10．下列识别图形不正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形CAC＝BD或∠A＝90°(答案不唯一)11．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是________________________________．(写出一种即可)
12．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，试判断四边形EFGH是否为矩形？请说明理由．
解：四边形EFGH是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO，AC＝BD，又∵点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴OE＝OG＝OF＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形，且EG＝HF，∴四边形EFGH是矩形D 6013．如图，已知?ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中．能说明?ABCD是矩形的有( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连结AE，BF，当∠ACB＝______度时，四边形ABFE为矩形．15．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件___________时，四边形PEMF为矩形．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从点A开始沿折线A→B→C→D以4 cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，若其中一点到达D点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，则当t＝__ __s时，四边形APQD为矩形． BC＝2AB417．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE＝CE.
解：过点B作BF⊥CE于点F，∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，∴∠D＝∠BCF，∴△BCF≌△CDE(AAS)，∴BF＝CE，又可证四边形BAEF为矩形，∴BF＝AE，∴AE＝CE18．如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
解：(1)易证△AMD≌△CMN，∴DM＝NM，又∵MA＝MC，∴四边形ADCN为平行四边形，∴CD＝AN (2)∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，又∵∠AMD＝2∠MCD，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，∴AC＝DN，又由(1)知四边形ADCN是平行四边形，∴四边形ADCN为矩形19．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连结BF.
(1)BD与CD有怎样的数量关系，并说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
解：(1)BD＝CD.理由如下：易证△AEF≌△DEC，∴AF＝CD，又∵AF＝BD，∴BD＝CD (2)当AB＝AC时，AFBD为矩形．理由如下：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，即∠BDA＝90°，∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形AFBD为平行四边形，∵∠BDA＝90°，∴四边形AFBD为矩形20．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．课件9张PPT。19．1 矩形19．1.2 矩形的判定第2课时 矩形的判定的应用D知识点：矩形的判定的相关应用
1．下列说法正确的是( )
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线垂直的四边形是矩形
D．四个角都是直角的四边形是矩形
2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB，若∠OAD＝65°，则∠ODC等于( )
A．15° B．25° C．45° D．65°B903．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线的长度也在发生变化，当∠α等于
__ __度时，两条对角线长度相等．4．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCDE是矩形．
解：先证△AEB≌△ADC(SAS)，∴BE＝DC，又∵DE＝BC，∴四边形BEDC为平行四边形，∴∠EBC＋∠DCB＝180°，又∵△AEB≌△ADC，∴∠ABE＝∠ACD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EBC＝∠DCB＝90°，∴四边形BCDE是矩形C A5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的条件组合是( )
A．①②③ B．①②④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
6．四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝11，过点D作DH⊥AB于点H，则DH的长是( )
A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.57．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减小C8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作?ABDE，连结AD，EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
解：(1)∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝DE，AB∥DE，∴∠B＝∠EDC，又∵AB＝AC，∴AB＝AC＝DE，∠B＝∠ACD，∴∠ACD＝∠EDC，在△ADC与△ECD中，AC＝DE，∠ACD＝∠EDC，CD＝DC，∴△ADC≌△ECD (2)由题意可知，AE綊CD，∴四边形ADCE为平行四边形，又由(1)知，AC＝DE，∴四边形ADCE是矩形9．请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图①，已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E，F.
求证：PE＋PF＝CD.
证明思路：
如图②，过点P作PG∥AB交CD于G，则四边形PGDE为矩形，则PE＝GD；又可证△PGC≌△CFP，则CG＝PF.所以PE＋PF＝DG＋GC＝CD.
如图③，若点P是BC延长线上任意一点，其他条件不变，则PE，PF与CD有何数量关系？请你写出结论并说明理由．解：PE－PF＝CD，理由如下：过点C作CG⊥PE于点G，∵PE⊥AB，CD⊥AB，∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°，∴四边形CGED是矩形，∴CD＝GE，CG∥AB，∴∠GCP＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP，∴△PFC≌△PGC(AAS)，∴PF＝PG，∴PE－PF＝PE－PG＝GE＝CD，即PE－PF＝CD课件16张PPT。19．2 菱形19．2.1 菱形的性质第1课时 菱形的性质B知识点1：菱形的四条边都相等
1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是( )
A．25 B．20 C．15 D．10
2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连结AE，AC，AF，则图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个CB3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于( )
A．50° B．60° C．70° D．80°知识点2：菱形的对角线互相垂直
4．菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．邻角互补
C．对角相等 D．对角线互相垂直DCB8．如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__ __cm.49．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，又∵BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC (2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，又由(1)知，四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝50°，∴∠BAO＝180°－90°－50°＝40°，故∠BAO的大小为40°B1:216C D13．如图，在菱形ABCD中，下列结论不一定成立的是( )
A．四边形ABCD是平行四边形
B．AC⊥BD
C．△ABC是等边三角形
D．∠CAB＝∠CAD
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是(3，4)，则顶点A，B的坐标分别是( )
A．(4，0)，(7，4) B．(4，0)，(8，4)
C．(5，0)，(7，4) D．(5，0)，(8，4)16．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的大小为_______．B75°17．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M，N分别是BC，CD的中点，点P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是__ __．519．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由．20．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
解：(1)连结AC，易知AE⊥BC，∴∠CEF＝30°，又∵∠C＝120°，∴∠CFE＝30°，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵BC＝CD，∴BE＝DF
(2)连结AC，易知∠BAC＝60°，又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，易知∠ACD＝∠B＝60°，AB＝AC，∴△BAE≌△CAF，∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形课件9张PPT。19．2 菱形19．2.1 菱形的性质第2课时 与菱形的性质相关的应用 C1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，已知菱形ABCD的周长是16，则△ABC的周长是( )
A．4 B．8 C．12 D．16
2．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成的角的度数应为( )
A．15°或30° B．30°或45°
C．45°或60° D．30°或60°D25．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若∠B＝60°，AB＝2，求线段AE的长．C C7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10，AC＝12，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为( )
A．44 B．48 C．96 D．1268．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为__ __．
9．如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF.其中结论正确的是__________．(填序号)12②③④10．如图，?ABCD的周长为54，AB＝10，以AD为边向外作菱形ADEF，并测得AE＝16.试求DF的长及菱形ADEF的周长和面积．
解：DF的长为30，菱形ADEF的周长为68，面积为24011．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F.
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)若∠EOD＝30°，求CE的长．课件9张PPT。19．2 菱形19．2.2 菱形的判定第1课时 菱形的判定(1)A知识点：四条边都相等的四边形是菱形
1．如图，用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．四条边都相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．以上都不是
2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°A菱形3．如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则四边形ABCD是_______．
4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若要使四边形ABCD是菱形，则图中∠1与∠2应满足的关系是_________． ∠1＝∠25．如图，O为矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形．
解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形，∴OC＝DE，OD＝CE，∵四边形ABCD为矩形，∴OD＝OC，∴OC＝CE＝DE＝OD，∴四边形OCED为菱形C 菱形6．四边形的四条边长顺次为a，b，c，d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝ab＋bc＋cd＋ad，则此四边形一定是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．无法确定
7．如图所示，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形ABCD是_______．8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF＝______度．
9．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足___________条件时，四边形EFGH是菱形．90AB＝CD10．(2015·安顺)如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.
(1)求证：AE＝DF；
(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
解：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行边形，∴AE＝DF (2)四边形AEDF是菱形，理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，又∵AC∥DE，∴∠FAD＝∠ADE，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF为平行四边形，∴DE＝AF，AE＝DF，∴AE＝DE＝DF＝AF，∴四边形AEDF是菱形11．(2015·厦门)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上，若DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF的周长．课件10张PPT。19．2 菱形19．2.2 菱形的判定第2课时 菱形的判定(2)B知识点：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．BA＝BC B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD D．AB∥CD4483．如图所示，在平行四边形ABCD中，EF垂直平分对角线AC于点O，且与边BC，AD分别交于点E，F，若EF＝8，AC＝12，则四边形AFCE的面积为
__ __．
4．如图，?ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AB＝AD；④AC平分∠BAD；⑤AO＝DO.能判定?ABCD是菱形的条件有_________．(填序号)②③④5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE＝BF.又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形C 6．如图，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是( )
A．AE＝AF B．EF⊥AC
C．∠B＝60° D．AC是∠EAF的平分线B8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AB，AC边的中点，连结DE，EF，FD，当△ABC满足条件_____________________时，四边形AEDF是菱形．(填一个你认为恰当的条件即可)AB＝AC或∠B＝∠C9．如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．
解：(1)证明略 (2)当∠DOE＝90°时，理由略10．如图，将矩形ABCD折叠，使点A和点C重合，留下折痕EF，EF分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB＝6 cm，BC＝8 cm，求折痕EF的长．课件15张PPT。19．3 正方形D知识点1：正方形的性质
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．四条边都相等
B．对角线互相垂直平分
C．每条对角线平分一组对角
D．对角线相等
2．下列结论中，正确的有( )
①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有四条对称轴．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个DC3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )
A．45° B．55°
C．60° D．75°
4．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( )
A．4个 B．6个
C．8个 D．10个C5．如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是________．
6．如图，正方形ABCD与正方形A′B′C′O的边长都是10 cm，当正方形A′B′C′O绕O转动时，两个正方形重叠部分的面积(图中阴影部分)等于
__ __cm2.22.5°25知识点2：正方形的判定
7．四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．BC＝CD B．AB＝CD
C．AD＝BC D．AC＝BD
8．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AO＝BO＝CO＝DO，AB＝BC
C．AD∥BC，∠A＝∠C
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BCAB9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形BECF为正方形的是( )
A．BC＝AC B．CF⊥BF
C．BD＝DF D．AC＝BF
10．如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是________________________________．D有一组邻边相等的矩形是正方形11．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
解：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD与△CBD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB (2)由(1)知，∠ADB＝∠CDB，∴BD是∠ADC的平分线，又∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∠PMD＝90°，∠PND＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形，又∵PM＝PN，∴四边形MPND是正方形C 12．在四边形中，给出下列四个条件：①四边都相等，有一个内角是直角 ；②四个内角都相等，有一组邻边相等；③对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；④对角线互相垂直平分且相等．其中能判定这个四边形为正方形的条件是( )
A．①② B．②③
C．①②④ D．①②③④
13．顺次连结四边形ABCD各边中点所围成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线( )
A．互相垂直 B．互相平分
C．相等 D．互相垂直且相等DB14．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(－3，0)，则点C的坐标为( )
A．(1，3) B．(1，－3)
C．(1，－4) D．(2，－4)17．如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且DF＝BE.
(1)求证：CE＝CF；
(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？请说明理由．
解：(1)易证△CBE≌△CDF(SAS)，∴CE＝CF (2)GE＝BE＋GD成立，理由如下：证△CEG≌△CFG(SAS)，∴GE＝GF，又∵GF＝GD＋DF，DF＝BE，∴GE＝BE＋GD18．如图①，?ABCD中，O是CD的中点，连结AO并延长，交BC的延长线于点E.
(1)求证：△AOD≌△EOC；
(2)如图②，连结AC，DE，当∠B＝∠AEB＝____时，四边形ACED是正方形？请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠EOC，∠ADO＝∠ECO，又∵DO＝CO，∴△AOD≌△EOC (2)当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形，理由如下：由△AOD≌△EOC，∴OA＝OE，又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形，∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊CD，∴∠COE＝∠BAE＝90°，∴AE⊥CD，∴四边形ACED是菱形，又∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ACED是正方形19．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点．
(1)求证：△PDQ是等腰直角三角形；
(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形？请说明理由．解：(1)连结AD，由SAS证△ADQ≌△BDP，∴∠BDP＝∠ADQ，DP＝DQ，∴∠PDQ＝∠PDA＋∠ADQ＝∠PDA＋∠BDP＝∠BDA＝90°，∴△PDQ是等腰直角三角形
(2)当点P为AB中点时，四边形APDQ是正方形，理由如下：当点P为AB的中点时，∵AD＝BD，∴∠APD＝90°，同理，∠AQD＝90°，又∵∠PDQ＝90°，∴四边形APDQ是矩形，又∵DP＝DQ，∴四边形APDQ是正方形第19章综合能力检测题
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列命题中正确的是( B )
A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形
2．如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若∠DBC＝30°，则∠AOB等于( D )
A．120° B．15° C．30° D．60°
3．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连结AE，CF，则四边形AECF是( C )
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
,第2题图) ,第3题图) ,第5题图) ,第6题图)
4．一个菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则这个菱形的两邻角的度数之比为( D )
A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶1
5．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四个判断中不正确的是( D )
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
6．(2015·襄阳)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( D )
A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝2 D．AF＝EF
7．如图，一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是21 cm2，则该矩形的面积为( A )
A．60 cm2 B．70 cm2 C．120 cm2 D．140 cm2
8．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( C )
A．1 B. C．1－ D.－4
,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)
9．(2015·重庆改编)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为(m，)，反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连结BD，当DB⊥x轴时，k的值是( D )
A．1 B．－1 C. D．－
10．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF.则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB＋∠AED＝145°.其中正确的个数是( C )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED＝90°，AD＝10，则AB的长为__5__．
,第11题图) ,第13题图) ,第14题图) ,第15题图)
12．(2015·丹东)在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是__20__．
13．如图，?ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合，已知△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为__3__．
14．如图，?ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝，AC＝4，BD＝2，小明说：“这个四边形是菱形．”他说这话的根据是__对角线互相垂直的平行四边形是菱形__．
15．?ABCD中，给出下列四个条件：①AC⊥BD；②∠ADC＝90°；③BC＝CD；④AC＝BD.其中选两个条件能使?ABCD是正方形的有__①②、①④、②③、③④__．(填上所有正确结果的序号)
16．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为____．
,第16题图) ,第17题图) ,第18题图)
17．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝____cm.
18．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx＋b(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则点Bn的坐标为__(2n－1，2n－1)__．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且BO＝2AE，∠AOD＝120°，求证：BE⊥AC.
解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OA，又∵OB＝2AE，∴AE＝OE，又∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形．又∵AE＝OE，∴BE⊥AO，即BE⊥AC
20．(8分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若∠B＝60°，AB＝2，求线段AE的长．
解：(1)用SAS证△ABE≌△CDF (2)∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BE＝CE＝1，AE⊥BC，∴AE＝＝＝
21．(10分)如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连结DF.
(1)在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
(2)连结AE，试判断AE与DF的位置关系，并说明理由．
解：(1)△ADC≌△ABC，△ADF≌△ABF，△CDF≌△CBF (2)AE⊥DF.理由如下：设AE与DF相交于点H，易证△ADF≌△ABF，∴∠ADF＝∠ABF，再证△ADE≌△BCE，∴∠DAE＝∠CBE，∵∠ABF＋∠CBE＝90°，∴∠ADF＋∠DAE＝90°，∴∠DHA＝90°，∴AE⊥DF
22．(9分)(2015·长春)如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形．
解：易证四边形ACGF是平行四边形，再证AC＝AF，故四边形ACGF是菱形
23．(9分)如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F.
(1)求证：四边形AFDE是菱形；
(2)当∠ABC等于多少度时，四边形AFDE是正方形？请说明理由．
解：(1)易证四边形AFDE是平行四边形，∵D为BC中点，DE∥AB，DF∥AC，∴DE＝AB，DF＝AC，∵AB＝AC，∴DE＝DF，∴四边形AFDE是菱形 (2)当∠ABC＝45°时，四边形AFDE是正方形，理由略
24.(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
解：(1)∵OA＝OB，OE＝OD，∴四边形AEBD为平行四边形，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴四边形AEBD为矩形 (2)当∠BAC＝90°时，四边形AEBD为正方形，理由如下：∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，AD⊥BC，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴BD＝AD，∴矩形AEBD为正方形
25．(12分)已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连结CF.
(1)如图①，当点D在线段BC上时，求证：CF＋CD＝BC；
(2)如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
(3)如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变：
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连结OC，求OC的长度．
解：(1)∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，可证△BAD≌△CAF(SSS)，∴BD＝CF，∵BC＝BD＋CD，∴CF＋CD＝BC (2)BC＝CF－CD (3)①CD－CF＝BC ②由题知，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°－∠BAF，∠CAF＝90°－∠BAF，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴∠ACF＝∠ABD，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝135°，∴∠ACF＝∠ABD＝135°，∴∠FCD＝90°，∴△FCD为直角三角形，∵DE＝2，∴DF＝DE＝2，∴OC＝DF＝
课件12张PPT。综合训练(19.1～19.3)B一、选择题
1．(2015·连云港)已知四边形ABCD，下列说法正确的是( )
A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，则四边形ADCF一定是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．以上都不对AA4．如图，正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM的度数为( )
A．45° B．55° C．65° D．75°
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，则阴影部分图形的周长为( )
A．15 B．20 C．25 D．30BD二、填空题
6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB，BC均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF＝________．45°菱形 310．如图，点P是正方形ABCD的边AB上一点(不与A，B重合)，连结PD，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得线段PE，连结BE，则∠CBE等于__ ____．45°三、解答题
11．如图，AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD，BC于点F，E，AC，BD相交于点O.求证：BE＝BF.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠ABC＝90°，∴∠CAF＋∠AFD＝90°，∠BAE＋∠BEA＝90°，又∵AE平分∠BAC，∴∠CAF＝∠BAE，∴∠AFD＝∠BEA＝∠BFE，∴BE＝BF12．如图，在等边△ABC中，点D是BC的中点，以AD为边作等边△ADE.
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连结CF，CE，求证：四边形AFCE是矩形．
解：(1)∠CAE＝30° (2)易得∠BAE＝90°，∠BFC＝90°，∴AE∥CF，证△ABD≌△CBF，得AD＝CF，又∵AE＝AD，∴AE＝CF，∴四边形AFCE为矩形13．如图①，②，四边形ABCD是菱形，点P是对角线AC上一点，以点P为圆心，PB为半径的弧，交BC的延长线于点F，连结PF，PD，PB.
(1)如图①，若点P是AC的中点，请写出PF和PD的数量关系；
(2)如图②，若点P不是AC的中点，求证：PF＝PD.
解：(1)PF＝PD (2)易证△ABP≌△ADP，∴PD＝PB，又∵PB＝PF，∴PF＝PD14．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.
(1)求证：四边形BMDN为菱形；
(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，又∵BO＝DO，∴△MOD≌△NOB，∴MO＝NO，∴四边形BMDN是平行四边形，又∵MB＝MD，∴四边形BMDN是菱形 (2)∵MN垂直平分BD，∴MD＝MB，设MD＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴MD＝515．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.
(1)求证：AF＝BE；
(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ，求证：MP＝NQ.
解：(1)易证△ABE≌△DAF，∴AF＝BE (2)过点Q作QE⊥BC于点E，过点P作PF⊥AB于点F，证明△NQE≌△PMF即可得MP＝NQ
