课件22张PPT。第二章 数列 2.2 等差数列 我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列:
0,5,____,_____,…. ①复习回顾 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m,那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位而组成数列(单位:m):
18,15.5,13,10.5,8,5.5. ②上面两个数列有一个共同特点:
从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一常数.定义中的光键词是什么? 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差等于同一常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差. 一、 等差数列定义判定题:下列数列是否是等差数列?①. 9, 7, 5, 3, …, -2n+11, …;
②. -1, 11, 23, 35, …, 12n-13, …;
③. 1, 2, 1, 2, …;
④. 1, 2, 4, 6, 8, 10, …;
⑤. a, a, a, a, …, a, … ;
√√√××课堂练习:由等差数列的定义知an-an-1=d,
当d>0时,an>an-1,则为递增数列;
当d=0时,an=an-1,则为常数列;
当d<0时,an
注意公差d:一定是由后项减前项所得.二、等差中项 观察如下的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列:(1)2 , , 4 (2)-1, , 5
(3)-12, , 0 (4)0, , 032-60 如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项. 一般地,如果等差数列 的首项是 公差是 ,我们根据等差数列的定义,可以得到所以…因此,三、等差数列通项公式还可以用累加法得到等差数列通项公式: 一般地,如果等差数列 的首项是 公差是 ,我们根据等差数列的定义,可以得到累加得: 例1 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项.
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?
如果是,是第几项?五、运用通项公式解题1、求某一项或项数 例2 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,
即最初的4km(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出
租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要
支付多少车费? 解:根据题意,该市出租车的行程大于或等于4km时,
每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立
一个等差数列 来计算车费.令 ,表示4km处的车费,公差 .那么,
当出租车行至14km时, ____,此时需要支付车费 (元).答:需要支付车费23.2元.六、实际应用举例 例3 已知数列 的通项公式为 其中 为常数,那么这个数列是等差数列吗? 分析:判定 是否为等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是说 是不是一个与 无关的常数. 解:取数列 中的任意相邻两项 与 ,求差得它是个与 无关的常数,所以 是等差数列.七、等差数列的证明练习1 在等差数列{an}中,
(1)已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20;(2)已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8.解: (1)由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10. (2) a3+a11 =a6+a8 =2a7 ,又已知 a3+a11=10,
∴ a6+a7+a8= (a3+a11)=15.(1)求等差数列 3 ,7 , 11 ,…的第4项和第10项.
(2)100是不是等差数列 2 ,9 ,16 ,…的项?
如果是,是第几项?如果不是,说明理由.
(3) -20是不是等差数列 0 ,-3.5 ,-7 ,…的项?如果是, 是第几项?如果不是,说明理由.练习2:解: (1)∵ a1=3 , d=7-3= 4
∴ an=3+4(n-1)
= 4n-1
∴ a4=4×4-1=15 ,
a10=4×10 –1=39 (2)∵ a1=2 , d=9-2=7
∴ an=2+7(n-1)
= 7n-5
∵ 100=7n-5
∴ n =15
∴ 100是该数列的第15项. (3)∵ a1=0 ,
d= -3.5 -0
= -3.5
∴ an=0-3.5(n-1)
= -3.5n+3.5
∵ -20= -3.5n+3.5无正整数解,
∴ -20不是该数列的项.在等差数列{an}中,
(1)已知 a4=10 , a7=19 ,求 a1与 d .
(2)已知 a3=9 , a9=3 ,求 a12 .练习3:解: (1)由题意得 a1+3d= 10 ①
a1+6d=19 ②
解得: d=3 , a1=1 . (2)由题意得 a1+2d= 9 ①
a1+8d=3 ②
解得: d= -1 , a1=11 .
∴ an=11-1(n-1)=12-n.
∴ a12= 12-12 =0.小结1、掌握等差数列、等差数列的公差、等差中项等概念.2、掌握等差数列通项公式的一般形式:3、已知等差数列通项公式中的任意三个量,能用通项公式,求另外一个量.4、能用数列的通项公式判断某个数是否是这个数列 中的项.5、会用定义证明某个数列是等差数列.