2.2 等差数列 课件4
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课件23张PPT。2.2 等差数列新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:给出以下3个等差数列:
(1)1,4,7,10,13,…,公差为3;
(2)-2,-4,-6,-8,-10,…,公差为-2;
(3)3,3,3,3,3,…,公差为0.
想一想 将实例中三个等差数列中的某两个对应的项相加或相减,得到的数列是否仍然是等差数列?将一个等差数
列中的各项都乘以同一个常数,得到的数列是否仍然是等差数列?如果是,公差与原等差数列的公差有何关系?
(是.例如将(1)与(2)对应各项相加得到数列:-1,0,1,2,3,…,仍然是等差数列,将(2)与(3)对应各项相减得到数列:-5,-7,-9,-11,-13,…,仍然是等差数列;是.例如将(1)各项乘以2,得到2,8,14,20,26,…,仍然是等差数列,且公差变为原来的2倍)知识探究——自主梳理 思考辨析等差数列的常见性质
(1)对称性:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=am+ (n>m);
(2)若m,n,p,q均为正整数,则m+n=p+q? ;
(3)若m,p,n均为正整数且m,p,n成等差数列,则am,ap,an也成等差数列;
(4)an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=…=am+ ;
(5)若数列{an}成等差数列,则数列{λan+b}(λ,b为常数)仍为等差
数列;
(6){an}和{bn}均为等差数列,则{an±bn}也是等差数列;
(7){an}的公差为d,①d>0?{an}为递增数列;②d<0?{an}为递减数列;③d=0?{an}为常数列.an-m+1am+an=ap+aq(n-m)d思考:在等差数列{an}中,如果m+n=2p(m,n,p∈N*),那么am+an=2ap是否成立,反过来呢?题型探究——典例剖析 举一反三题型一 等差数列性质的应用
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
解:法一 因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,a15为首项,a60为第四项,设其公差为d,
则a60=a15+3d,
得d=4.
所以a75=a60+d=24.题后反思 求解等差数列有关计算问题的常用方法:一是基本量方法,即建立关于a1和d的方程组求出a1和d再解决问题;二是运用等差数列的性质,此法可以简化运算.跟踪训练1-1: (1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
(2)已知{an}、{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为( )
(A)-6 (B)6 (C)0 (D)10解析: (1)∵a3+a4+a5=12,
∴3a4=12,则a4=4,
又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,
故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.
(2)由于{an}、{bn}都是等差数列,
所以{an-bn}也是等差数列,
而a1-b1=6,a20-b20=6,
所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.故选B.题型二 等差数列中的计算问题
【例2】 已知等差数列{an}的公差是正数,并且a3a7=-12,a4+a6=-4,求数列{an}的通项公式.
名师导引:先由等差数列的性质得a3+a7=a4+a6=-4,再联立a3a7=-12求出a3,a7,进而求a1和d.
解:由等差数列{an}的性质知,
a3+a7=a4+a6,
从而a3a7=-12,a3+a7=-4,
故a3,a7是方程x2+4x-12=0的两根,
又d>0,解之,得a3=-6,a7=2.则an=a1+(n-1)d=-10+(n-1)×2=2n-12,
即an=2n-12.题后反思 本题利用了a3+a7=a4+a6这一性质构造了一元二次方程巧妙的解出了a3=-6,a7=2,再利用方程思想求出首项与公差,这也是解决此类问题的基本方法.跟踪训练2-1:若数列{an}是等差数列,且a3+a6=4,a8+a11=9,则a13+a16等于( )
(A)14 (B)10 (C)6 (D)2题型三 等差数列的实际应用
【例3】 (10分)有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少?
解:设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买单价不低于440元时,单价依台数成等差数列{an},
则an=780+(n-1)(-20)=800-20n, …………………………………………2分
解不等式an≥440,800-20n≥440,
得n≤18.……………………………………………………………………4分
当购买台数小于18时,单价为(800-20n)元,
当台数大于或等于18时,单价为440元.……………………………………5分
到乙商场购买,单价为800×75%=600(元).
又(800-20n)n-600n=20n(10-n),…………………………………………6分
所以,当n<10时,600n<(800-20n)n;
当n=10时,600n=(800-20n)n;………………………………………………8分
当10当n≥18时,440n<600n.……………………………………………………10分
所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买10台时,到两商场购买花费相同;当购买多于10台时,到甲商场购买花费较少.题后反思 (1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.
(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.跟踪训练3-1:某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.
试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次).
解:设在相同的时间内,从低到高每档产品的产量分别为a1,a2,…,a10,利润分别为b1,b2,…,b10,
则{an},{bn}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,
∴an=60-3(n-1)=-3n+63,
bn=8+2(n-1)=2n+6,
∴利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.
显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864.
答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.备选例题【例1】 若数列{xn}满足xn-xn-1=d(n∈N*,n≥2),其中d为常数,x1+x2+…+x20=80,则x5+x16= .?
解析:由xn-xn-1=d(n∈N*,n≥2)知{xn}是等差数列,
∴x1+x20=x2+x19=…=x10+x11,
∴10(x1+x20)=80,因此x1+x20=8,
故x5+x16=x1+x20=8.
答案:8解: (1)当n=1时,条件变为0=2(a1-1),
∴a1=1,b1=a1+1=2;
当n=2时,由a2=6,知a3=3(a2-1)=15,
b2=a2+2=8,b3=a3+3=18;
当n=3时,可得a4=28,b4=a4+4=32.
∴{bn}的前四项为2,8,18,32,
即2×12,2×22,2×32,2×42.
从而可归纳出bn=2n2(n∈N*).达标检测——反馈矫正 及时总结1.已知等差数列{an}:1,0,-1,-2,…;等差数列{bn}:0,20,40,60,…,则数列{an+bn}是( )
(A)公差为-1的等差数列
(B)公差为20的等差数列
(C)公差为-20的等差数列
(D)公差为19的等差数列
解析:易知an=2-n,bn=20(n-1),
∴an+bn=19n-18.
令cn=an+bn,
则cn+1-cn=19(n+1)-18-(19n-18)=19.
故数列{an+bn}是公差为19的等差数列.故选D.D2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10等于( )
(A)12 (B)16 (C)20 (D)24
解析:由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16.
故选B.
3.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( )
(A)-1 (B)1 (C)3 (D)7
解析:a2+a4+a6-(a1+a3+a5)=3d=-6,
∴d=-2.
又a1+a3+a5=105,
∴3a3=105,a3=35,
∴a20=a3+17d=35+17×(-2)=1.选B.B B4.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8= .?
解析:∵a2+a8=a4+a6=a3+a7=37,
∴a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=2×37=74.
答案:74课堂小结在等差数列中,一般存在两种运算方法:一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算;二是利用性质运算,运用等差数列的性质,往往会有事半功倍的效果.
(1)1,4,7,10,13,…,公差为3;
(2)-2,-4,-6,-8,-10,…,公差为-2;
(3)3,3,3,3,3,…,公差为0.
想一想 将实例中三个等差数列中的某两个对应的项相加或相减,得到的数列是否仍然是等差数列?将一个等差数
列中的各项都乘以同一个常数,得到的数列是否仍然是等差数列?如果是,公差与原等差数列的公差有何关系?
(是.例如将(1)与(2)对应各项相加得到数列:-1,0,1,2,3,…,仍然是等差数列,将(2)与(3)对应各项相减得到数列:-5,-7,-9,-11,-13,…,仍然是等差数列;是.例如将(1)各项乘以2,得到2,8,14,20,26,…,仍然是等差数列,且公差变为原来的2倍)知识探究——自主梳理 思考辨析等差数列的常见性质
(1)对称性:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=am+ (n>m);
(2)若m,n,p,q均为正整数,则m+n=p+q? ;
(3)若m,p,n均为正整数且m,p,n成等差数列,则am,ap,an也成等差数列;
(4)an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=…=am+ ;
(5)若数列{an}成等差数列,则数列{λan+b}(λ,b为常数)仍为等差
数列;
(6){an}和{bn}均为等差数列,则{an±bn}也是等差数列;
(7){an}的公差为d,①d>0?{an}为递增数列;②d<0?{an}为递减数列;③d=0?{an}为常数列.an-m+1am+an=ap+aq(n-m)d思考:在等差数列{an}中,如果m+n=2p(m,n,p∈N*),那么am+an=2ap是否成立,反过来呢?题型探究——典例剖析 举一反三题型一 等差数列性质的应用
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
解:法一 因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,a15为首项,a60为第四项,设其公差为d,
则a60=a15+3d,
得d=4.
所以a75=a60+d=24.题后反思 求解等差数列有关计算问题的常用方法:一是基本量方法,即建立关于a1和d的方程组求出a1和d再解决问题;二是运用等差数列的性质,此法可以简化运算.跟踪训练1-1: (1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
(2)已知{an}、{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为( )
(A)-6 (B)6 (C)0 (D)10解析: (1)∵a3+a4+a5=12,
∴3a4=12,则a4=4,
又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,
故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.
(2)由于{an}、{bn}都是等差数列,
所以{an-bn}也是等差数列,
而a1-b1=6,a20-b20=6,
所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.故选B.题型二 等差数列中的计算问题
【例2】 已知等差数列{an}的公差是正数,并且a3a7=-12,a4+a6=-4,求数列{an}的通项公式.
名师导引:先由等差数列的性质得a3+a7=a4+a6=-4,再联立a3a7=-12求出a3,a7,进而求a1和d.
解:由等差数列{an}的性质知,
a3+a7=a4+a6,
从而a3a7=-12,a3+a7=-4,
故a3,a7是方程x2+4x-12=0的两根,
又d>0,解之,得a3=-6,a7=2.则an=a1+(n-1)d=-10+(n-1)×2=2n-12,
即an=2n-12.题后反思 本题利用了a3+a7=a4+a6这一性质构造了一元二次方程巧妙的解出了a3=-6,a7=2,再利用方程思想求出首项与公差,这也是解决此类问题的基本方法.跟踪训练2-1:若数列{an}是等差数列,且a3+a6=4,a8+a11=9,则a13+a16等于( )
(A)14 (B)10 (C)6 (D)2题型三 等差数列的实际应用
【例3】 (10分)有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少?
解:设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买单价不低于440元时,单价依台数成等差数列{an},
则an=780+(n-1)(-20)=800-20n, …………………………………………2分
解不等式an≥440,800-20n≥440,
得n≤18.……………………………………………………………………4分
当购买台数小于18时,单价为(800-20n)元,
当台数大于或等于18时,单价为440元.……………………………………5分
到乙商场购买,单价为800×75%=600(元).
又(800-20n)n-600n=20n(10-n),…………………………………………6分
所以,当n<10时,600n<(800-20n)n;
当n=10时,600n=(800-20n)n;………………………………………………8分
当10
所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买10台时,到两商场购买花费相同;当购买多于10台时,到甲商场购买花费较少.题后反思 (1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.
(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.跟踪训练3-1:某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.
试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次).
解:设在相同的时间内,从低到高每档产品的产量分别为a1,a2,…,a10,利润分别为b1,b2,…,b10,
则{an},{bn}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,
∴an=60-3(n-1)=-3n+63,
bn=8+2(n-1)=2n+6,
∴利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.
显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864.
答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.备选例题【例1】 若数列{xn}满足xn-xn-1=d(n∈N*,n≥2),其中d为常数,x1+x2+…+x20=80,则x5+x16= .?
解析:由xn-xn-1=d(n∈N*,n≥2)知{xn}是等差数列,
∴x1+x20=x2+x19=…=x10+x11,
∴10(x1+x20)=80,因此x1+x20=8,
故x5+x16=x1+x20=8.
答案:8解: (1)当n=1时,条件变为0=2(a1-1),
∴a1=1,b1=a1+1=2;
当n=2时,由a2=6,知a3=3(a2-1)=15,
b2=a2+2=8,b3=a3+3=18;
当n=3时,可得a4=28,b4=a4+4=32.
∴{bn}的前四项为2,8,18,32,
即2×12,2×22,2×32,2×42.
从而可归纳出bn=2n2(n∈N*).达标检测——反馈矫正 及时总结1.已知等差数列{an}:1,0,-1,-2,…;等差数列{bn}:0,20,40,60,…,则数列{an+bn}是( )
(A)公差为-1的等差数列
(B)公差为20的等差数列
(C)公差为-20的等差数列
(D)公差为19的等差数列
解析:易知an=2-n,bn=20(n-1),
∴an+bn=19n-18.
令cn=an+bn,
则cn+1-cn=19(n+1)-18-(19n-18)=19.
故数列{an+bn}是公差为19的等差数列.故选D.D2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10等于( )
(A)12 (B)16 (C)20 (D)24
解析:由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16.
故选B.
3.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( )
(A)-1 (B)1 (C)3 (D)7
解析:a2+a4+a6-(a1+a3+a5)=3d=-6,
∴d=-2.
又a1+a3+a5=105,
∴3a3=105,a3=35,
∴a20=a3+17d=35+17×(-2)=1.选B.B B4.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8= .?
解析:∵a2+a8=a4+a6=a3+a7=37,
∴a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=2×37=74.
答案:74课堂小结在等差数列中,一般存在两种运算方法:一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算;二是利用性质运算,运用等差数列的性质,往往会有事半功倍的效果.