2.1 数列的概念与简单表示法 学案7（含答案）

2.1
数列的概念与简单表示法
学案
课时目标
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3．了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．
知识梳理
1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列可以看作是一个定义域为正整数集N
(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值．
3．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1作业设计
一、选择题
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　)
A．递增数列
B．递减数列
C．常数项
D．不能确定
答案　A
2．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　)
A．an＋1＝an＋n，n∈N
B．an＝an－1＋n，n∈N
，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N
，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N
，n≥2
答案　B
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列第4项是(　　)
A．1
B.
C.
D.
答案　B
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.
5．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2
010的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，
又知2
010除以3能整除，所以a2
010＝a3＝.
6．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是(　　)
A．a1，a30
B．a1，a9
C．a10，a9
D．a10，a30
答案　C
解析　∵an＝
＝＋1
∴点(n，an)在函数y＝＋1的图象上，
在直角坐标系中作出函数y＝＋1的图象，
由图象易知
当x∈(0，)时，函数单调递减．
∴a9当x∈(，＋∞)时，函数单调递减，
∴a10>a11>…>a30>1.
所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3，4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.
答案　3·21－n
8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N
)，则使an>100的n的最小值是________．
答案　12
9．若数列{an}满足：a1＝1，且＝(n∈N
)，则当n≥2时，an＝________.
答案　
解析　∵a1＝1，且＝(n∈N
)．
∴··…·
＝···…·，
即an＝.
10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N
，则实数λ的最小值是________．
答案　－3
解析　an≤an＋1 n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)
λ≥－(2n＋1)，n∈N
λ≥－3.
三、解答题
11．在数列{an}中，a1＝，an＝1－
(n≥2，n∈N
)．
(1)求证：an＋3＝an；　(2)求a2
011.
(1)证明　an＋3＝1－＝1－
＝1－
＝1－＝1－＝1－
＝1－(1－an)＝an.
∴an＋3＝an.
(2)解　由(1)知数列{an}的周期T＝3，
a1＝，a2＝－1，a3＝2.
又∵a2
011＝a3×670＋1＝a1＝，∴a2
011＝.
12．已知an＝
(n∈N
)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
解　因为an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)
＝n＋1·＝n＋1·，则
当n≤7时，n＋1·>0，
当n＝8时，n＋1·＝0，
当n≥9时，n＋1·<0，
所以a1a10>a11>a12>…，
故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝.
能力提升
13．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
，则通项公式an＝________.
答案　－
解析　∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…　　　…
an－an－1＝；
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－.
∴an＋1＝1－，∴an＝－.
14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项公式是________．
答案　
解析　∵(n＋1)a－na＋anan＋1＝0，
∴[(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0，
∵an>0，∴an＋an＋1>0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0.
方法一　＝.
∴····…·
＝····…·，
∴＝.
又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
方法二　(n＋1)an＋1－nan＝0，
∴nan＝(n－1)an－1＝…＝1×a1＝1，
∴nan＝1，an＝.
反思感悟
函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N
或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增 an＋1>an对任意的n
(n∈N
)都成立．类似地，有{an}递减 an＋1)都成立．