2.2 等差数列 学案7（含答案）

2.2
等差数列
学案
课时目标
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式．
2．熟练运用等差数列的常用性质．
知识梳理
1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
2．已知在公差为d的等差数列{an}中的第m项am和第n项an(m≠n)，则＝d.
3．对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.则在等差数列{an}中，am＋an与
ap＋aq之间的关系为am＋an＝ap＋aq.
作业设计
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　)
A．4
B．6
C．8
D．10
答案　C
解析　由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)
＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
2．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　)
A.
B．±
C．－
D．－
答案　D
解析　由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan
＝tan＝－.
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为(　　)
A．12
B．8
C．6
D．4
答案　B
解析　由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，
∴m＝8.
4．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于(　　)
A．14
B．21
C．28
D．35
答案　C
解析　∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，
∴a4＝4.∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.
5．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于(　　)
A．－182
B．－78
C．－148
D．－82
答案　D
解析　a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
6．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为(　　)
A．p＋q
B．0
C．－(p＋q)
D.
答案　B
解析　∵d＝＝＝－1，
∴ap＋q＝ap＋qd＝q＋q×(－1)＝0.
二、填空题
7．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
答案　24
解析　∵a60＝a15＋45d，∴d＝，
∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
答案　1
解析　∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.
∴a2＋a4＋a6＝3a4＝99.
∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.
∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
9．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝______.
答案　
解析　－＝－＝2d，即d＝.
所以＝＋4d＝＋＝，所以a10＝.
10．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则
|m－n|＝________.
答案　
解析　由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.
则＋＝2，∴d＝，∴这4个根依次为，，，，
∴n＝×＝，
m＝×＝或n＝，m＝，
∴|m－n|＝.
三、解答题
11．等差数列{an}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．
解　设an＝a1＋(n－1)d，
则a4a9－a6a7＝(a1＋3d)(a1＋8d)－(a1＋5d)(a1＋6d)
＝(a＋11a1d＋24d2)－(a＋11a1d＋30d2)
＝－6d2<0，所以a4a912．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
解　∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为(　　)
A．18
B．9
C．12
D．
15
答案　D
解析　设这7个数分别为a1，a2，…，a7，
公差为d，则27＝3＋8d，d＝3.
故a4＝3＋4×3＝15.
14．已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，{bn}：3，7，11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？
解　在数列{an}中，a1＝5，公差d1＝8－5＝3.
∴an＝a1＋(n－1)d1＝3n＋2.
在数列{bn}中，b1＝3，公差d2＝7－3＝4，
∴bn＝b1＋(n－1)d2＝4n－1.
令an＝bm，则3n＋2＝4m－1，∴n＝－1.
∵m、n∈N
，∴m＝3k(k∈N
)，
又，解得0∴0<3k≤75，∴0∴k＝1，2，3，…，25
∴两个数列共有25个公共项．
反思感悟
1．在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2．等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N
)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.