2.3 等差数列的前n项和 教案1

2.3
等差数列的前n项和
教案
教学目标
1．通过实例，探索等差数列的前项和公式，了解倒序相加法；
2．掌握等差数列的前项和公式，并能用其解决一些简单问题；
3．培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力．
教学重、难点
重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题．
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得．
教学过程
【预习提纲】
１．高斯算法是运用了等差数列的一个什么性质规律？（等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和）我们这里用什么方法去求一般数列的前项和呢？（倒序相加法）
2．设等差数列的公差为，则
①
又
②（①式倒序相加的和）
由①+②，得
=．
由此得到等差数列的前n项和的公式
（１）
这种数列求和的方法称为“倒序相加法”.
又等差数列的通项公式为=，将其代人公式（１）得到等差数列的前n项和的另一个公式．（2）
3．等差数列的前项和公式（1）、（2）各有什么特点？今后运用时如何恰当的选择？（两个公式都需要知道，而公式（1）还需已知，而公式（2）还需已知，运用时要根据已知条件选择用哪个公式．）
【基础练习】
1．在等差数列中，已知，其前项和　-88
．
2.在等差数列中，已知，其前项和604.5．
3．求集合的元素个数，并求这些元素的和.(答案:元素个数是30，元素和为900.
【典型例题】
例1　2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
【审题要津】让学生读题、审题并找出有用的信息，构造等差数列模型：根据题意，从年，该市每年投入的经费都比上一年增加50万元.所以，构成了一个等差数列，写出首项和公差，用等差数列的前项和公式求解．
解：根据题意，从年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中
，
=50.
那么，到2010年（=10），投入的资金总额为
（万元）
答：从年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.
【方法总结】本题是应用题，解决的关键是建立数学模型，根据题意：＂从年，每年投入的经费都比上一年增加50万元＂.所以，可以构造一个等差数列，利用等差数列的知识解决．
例2
已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前项和的公式吗？
【审题要津】等差数列前项和公式就是一个关于的方程．若要确定其前项求和公式，则要确定的关系式，从而求得．将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于与的二元一次方程，由此可以求得与，从而得到所求前项和的公式.
解：由题意知
，
将它们代入公式
得到
解这个关于与的方程组，得到=4，，
所以
.
另解：
得
所以
②
②-①，得，
所以
,
代入①得：
,
所以有
.
【方法总结】此例题目的是建立等差数列前项和与方程之间的联系,关键是根据已知条件恰当的选择公式.由已知的几个量，通过解方程组，得出其余的未知量.
在等差数列前项和的两个公式以及通项公式中涉及了五个量,分别是，任知其三个可以求另外两个．
【课堂小结】
教学等差数列前项和公式：
①
等差数列前项和的定义：一般地，我们称为数列的前项和，用表示，即.
②
等差数列前项和公式：或.