2.3 等差数列的前n项和 同步练习1（含答案）

2.3
等差数列的前n项和
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若d＝3，S4＝20，则S6＝(　　)
A．16　　　　　　　
B．24
C．36　　　　
D．48
[答案]　D
[解析]　由S4＝20，4a1＋6d＝20，解得a1＝ S6＝6a1＋×3＝48.
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是(　　)
A．21
B．20
C．19
D．18
[答案]　B
[解析]　由题设求得：a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，a1＝39，∴an＝41－2n，a20＝1，a21＝－1，所以当n＝20时Sn最大．故选B．
3.＋＋＋…＋＝(　　)
A．　
B．
C．
D．
[答案]　B
[解析]　原式＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝(－)＝，故选B．
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为(　　)
A．　
B．
C．
D．
[答案]　A
[解析]　本小题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．
∵a5＝5，S5＝15
∴＝15，∴a1＝1.
∴d＝＝1，∴an＝n.
∴＝＝－.
则数列{}的前100项的和为：T100＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
故选A．
5．设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1>0，S4＝S8，则当Sn取得最大值时，n的值为(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
[答案]　B
[解析]　解法一：∵a1>0，S4＝S8，∴d<0，且a1＝d，∴an＝－d＋(n－1)d＝nd－d，由，得，∴5解法二：∵a1>0，
S4＝S8，
∴d<0且a5＋a6＋a7＋a8＝0，
∴a6＋a7＝0，∴a6>0，a7<0，
∴前六项之和S6取最大值．
6．设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
[答案]　C
[解析]　由S50，由S6＝S7知a7＝0，
由S7>S8知a8<0，C选项S9>S5即a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7＋a8>0，显然错误．
二、填空题
7．设Sn是等差数列{an}(n∈N
)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.
[答案]　25
[解析]　由得，
∴S5＝5a1＋×d＝25.
8．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
[答案]　8
[解析]　本题考查了等差数列的性质与前n项和．
由等差数列的性质，a7＋a8＋a9＝3a8，a7＋a10＝a8＋a9，于是有a8>0，a8＋a9<0，故a9<0，故S8>S7，S90公差d<0，{an}是一个递减的等差数列，前n项和有最大值，a1<0，公差d>0，{an}是一个递增的等差数列，前n项和有最小值．
三、解答题
9．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn取最大值的n的值．
[解析]　(1)设公差为d，由已知得，解得.∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋11.
(2)由(1)知Sn＝na1＋d＝10n－n2＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
10．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N
)，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)设等差数列{an}的首项为a，公差为d，
由于a3＝7，a5＋a7＝26，
∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，
解得a1＝3，d＝2.
∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)∵an＝2n＋1，
∴a－1＝4n(n＋1)，
∴bn＝＝(－)．
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)
＝，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝.
能力提升
一、选择题
1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于(　　)
A．12
B．16
C．9
D．16或9
[答案]　C
[解析]　an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，
由an<180得n<13且n∈N
，
由n边形内角和定理得，
(n－2)×180＝n×120＋×5.
解得n＝16或n＝9
∵n<13，∴n＝9.
2．已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为(　　)
A．11
B．19
C．20
D．21
[答案]　B
[解析]　∵Sn有最大值，∴a1>0，d<0，
∵<－1，
∴a11<0，a10>0，∴a10＋a11<0，
∴S20＝＝10(a10＋a11)<0，
又S19＝＝19a10>0，故选B．
3．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是(　　)
A．a8
B．a9
C．a10
D．a11
[答案]　D
[解析]　S11＝5×11＝55＝11a1＋d＝55d－55，
∴d＝2，S11－x＝4×10＝40，∴x＝15，
又a1＝－5，由ak＝－5＋2(k－1)＝15得k＝11.
4．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
[答案]　A
[解析]　∵{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，
又∵a1·a2·a3＝105，
∴a1a3＝21，由及{an}递减可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴选A．
二、填空题
5．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N
.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
[答案]　110
[解析]　设等差数列{an}的首项为a1，公差为D．
a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋d＝20，
∴解得d＝－2，a1＝20.
∴S10＝10a1＋d＝200－90＝110.
6．等差数列{an}中，d<0，若|a3|＝|a9|，则数列{an}的前n项和取最大值时，n的值为______________．
[答案]　5或6
[解析]　∵a1＋a11＝a3＋a9＝0，
∴S11＝＝0，
根据二次函数图象的性质，由于n∈N
，所以当n＝5或n＝6时Sn取最大值．
三、解答题
7．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差以及项数．
[解析]　解法1：设此数列的首项a1，公差d，项数2k(k∈N
)．
根据题意，得，即
∴，解得.
由S奇＝(a1＋a2k－1)＝24，可得a1＝.
∴此数列的首项为，公差为，项数为8.
解法二：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N
)，
根据题意，得即
∴解得
∴此数列的首项为，公差为，项数为8.
8．设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
[解析]　(1)依题意，
即
由a3＝12，得a1＋2d＝12.③
将③分别代入②①，得，
解得－(2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大．
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得
a6>0，a7<0，
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．