2.3 等差数列的前n项和 同步练习3（含答案）

2.3
等差数列的前n项和
同步练习
1．下列各组数成等比数列的是(　　)
①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.
A．①②　　　　　　　　
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
解析　由等比数列的定义，知①、②、④是等比数列．③中当x＝0时，不是等比数列．
答案　C
2．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6等于(　　)
A．1
B．－1
C．2
D.
解析　a6＝a1q5＝32×5＝－1.
答案　B
3．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为(　　)
A．16
B．27
C．36
D．81
解析　由已知，得
∴q2
(a1＋a2)＝9，∴q2＝9.
∵an>0，∴q＝3.
∴a4＋a5＝q(a3＋a4)＝3×9＝27.
答案　B
4．在数列{an}中，对任意n∈N
，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则等于(　　)
A．1
B.
C.
D.
解析　由an＋1－2an＝0，得＝2，∴{an}为等比数列，且公比q＝2，∴＝＝＝.
答案　D
5．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　)
A．64
B．81
C．128
D．243
解析　∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝a1q6＝64.
答案　A
6．已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前3项，则第4项为____________．
解析　由(2x＋2)2＝x(3x＋3)，∵x＋1≠0，∴4(x＋1)＝3x，∴x＝－4，∴公比q＝＝＝.
∴第4项为xq3＝－4×()3＝－.
答案　－
7．2＋与2－的等比中项是________．
答案　±1
8．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则＝________.
解析　根据题意得a1＋a2＝5，b＝b1b3＝1×4＝4，又b2>0，
∴b2＝2，∴＝.
答案　
9．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，则{an}的通项公式为________．
解析　设等比数列的公比为q，则q≠0，
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18，∴an＝18×n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
答案　an＝2×33－n或an＝2×3n－3
10．已知数列{lgan}是等差数列，求证：{an}是等比数列．
证明：设数列{lgan}的公差为d，根据等差数列定义，得lgan＋1－lgan＝d，∴lg＝d，∴＝10d(常数)，∴{an}是一个以10d为公比的等比数列．
11．已知三个数成等比数列，它们的和为13，它们的积为27，求这三个数．
解　根据题意，设这三个数依次为，a，aq(aq≠0)，则解得或
∴所求三个数依次为1，3，9或9，3，1.
12．设数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0(n∈N
)，S1，S2，…，Sn，…，成等比数列，试问数列a2，a3，a4，…，an成等比数列吗？证明你的结论．
解　设a1＝a，则S1＝a1＝a，∵{Sn}成等比数列，设其公比为q，则由等比数列的通项公式有Sn＝S1·qn－1＝aqn－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝aqn－1－aqn－2＝aqn－2(q－1)．
an＋1＝Sn＋1－Sn＝aqn－aqn－1＝aqn－1(q－1)．
当q＝1时，{Sn}为常数列，此时an＝0与题设条件an≠0矛盾，故q≠1.
又＝＝q(n≥2)，
故数列a2，a3，a4，…，an，…成等比数列．