2.3 等差数列的前n项和 学案3（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.3 等差数列的前n项和 学案3（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 20.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-08 15:17:41 | ||
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文档简介
2.3
等差数列的前n项和
学案
课时目标
1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．
2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系．
知识梳理
1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以记作S16；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1
(n≥2)．
2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d.
3．等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则＝.
作业设计
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13
B．35
C．49
D．63
答案 C
解析 S7＝＝＝49.
2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于( )
A.
B．2
C.
D．4
答案 A
解析 由题意得：
10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
∴10a1＝5d，∴＝.
3．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )
A．－9
B．－11
C．－13
D．－15
答案 D
解析 由a＋a＋2a3a8＝9得
(a3＋a8)2＝9，∵an<0，
∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝
＝＝＝－15.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )
A．63
B．45
C．36
D．27
答案 B
解析 数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765
B．665
C．763
D．663
答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )
A．3
B．－3
C．－2
D．－1
答案 B
解析 由
得nd＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.
二、填空题
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
答案 15
解析 设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，
即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，
即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则的值是________．
答案
解析 ＝＝＝.
9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
答案 10
解析 S奇＝＝165，
S偶＝＝150.
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，
∴n＝10.
10．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．
答案 210
解析 方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30，70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
三、解答题
11．在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解 由
得
解方程组得或
12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴，
即，解得，
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
能力提升
13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9
B．10
C．19
D．29
答案 B
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.
当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 D
解析 ＝＝＝
＝＝7＋，
∴n＝1，2，3，5，11.
反思感悟
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好．
2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．
等差数列的前n项和
学案
课时目标
1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．
2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系．
知识梳理
1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以记作S16；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1
(n≥2)．
2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d.
3．等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则＝.
作业设计
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13
B．35
C．49
D．63
答案 C
解析 S7＝＝＝49.
2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于( )
A.
B．2
C.
D．4
答案 A
解析 由题意得：
10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
∴10a1＝5d，∴＝.
3．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )
A．－9
B．－11
C．－13
D．－15
答案 D
解析 由a＋a＋2a3a8＝9得
(a3＋a8)2＝9，∵an<0，
∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝
＝＝＝－15.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )
A．63
B．45
C．36
D．27
答案 B
解析 数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765
B．665
C．763
D．663
答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )
A．3
B．－3
C．－2
D．－1
答案 B
解析 由
得nd＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.
二、填空题
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
答案 15
解析 设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，
即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，
即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则的值是________．
答案
解析 ＝＝＝.
9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
答案 10
解析 S奇＝＝165，
S偶＝＝150.
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，
∴n＝10.
10．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．
答案 210
解析 方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30，70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
三、解答题
11．在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解 由
得
解方程组得或
12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴，
即，解得，
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
能力提升
13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9
B．10
C．19
D．29
答案 B
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.
当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 D
解析 ＝＝＝
＝＝7＋，
∴n＝1，2，3，5，11.
反思感悟
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好．
2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．