2.4 等比数列 同步练习2（含答案）

2.4
等比数列
同步练习
一、等比数列通项公式的应用
例1　已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
分析　可根据条件先求出基本量a1及公比q，再写出通项公式．
解　
总结　等比数列的通项公式an＝a1qn－1中有四个量a1，q，n，an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．
变式训练1　已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
解　
二、等比数列性质的应用
例2　已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，
a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
分析　在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，利用这一性质可以化繁为简．
解　
变式训练2　设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝215，求a2·a5·a8·…·a29的值．
解　
三、等比数列的判断与证明
例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)
(n∈N
)．
(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．
解　
总结　利用等比数列的定义＝q
(q≠0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法．
变式训练3　(2009·浙江文，20)设Sn为数列{an}前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N
，其中k是常数．
(1)求a1及an；
(2)若对于任意的m∈N
，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
解　
2.4　等比数列特色训练参考答案
例1　解　设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝.解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18，∴an＝18×n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.
变式训练1　
解　由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2代入已知得，

将a1＝代入①得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
由②得或当a1＝1，q＝2时，an＝2n－1；当a1＝4，q＝时，an＝23－n.
二、等比数列性质的应用
例2　
解　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9.∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95.
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝5log39＝10.
变式训练2　
解　a1·a2·a3·…·a30＝(a1a30)·(a2a29)·…·(a15·a16)＝(a1a30)15＝215，
∴a1a30＝2.
a2·a5·a8·…·a29＝(a2a29)·(a5a26)·(a8a23)·(a11a20)·(a14a17)
＝(a2a29)5＝(a1a30)5＝25＝32.
三、等比数列的判断与证明
例3　
(1)解　由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，∴a1＝－.
又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又＝－，所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
变式训练3　
解　(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．
a1＝k＋1也满足上式，所以an＝2kn－k＋1，n∈N
.
(2)由am，a2m，a4m成等比数列，得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
将上式化简，得2km(k－1)＝0，因为m∈N
，所以m≠0，故k＝0或k＝1.