2.4 等比数列 同步练习4（含答案）

2.4
等比数列
同步练习
1．数列{2n}的前n项和Sn等于(　　)
A．2n－1　　　　　　　
B．2n－2
C．2n＋1－1
D．2n＋1－2
解析　Sn＝＝2n＋1－2.
答案　D
2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于(　　)
A．31
B．33
C．35
D．37
解析　a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.
a6＋a7＋a8＋a9＋a10
＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)
＝q5＝25＝32.
∴S10＝1＋32＝33.
答案　B
3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是(　　)
A．179
B．211
C．248
D．275
解析　∵a5＝a1q4，∴16＝81·q4.
又an>0，∴q＝.
∴S5＝＝＝211.
答案　B
4．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
解析　由an＝a1qn－1，得96＝3qn－1.
∴qn－1＝32＝25.取n＝6，q＝2，
这时S6＝＝189.适合题意．
答案　C
5．等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则(　　)
A．a1＝1
B．a3＝1
C．a4＝1
D．a5＝1
解析　由等比数列的性质，知
T5＝a1·a2·a3·a4·a5＝1，∴a3＝1.
答案　B
6．已知公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列{}的前n项和为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　数列{}仍为等比数列，且公比为，
所以前n项和Sn′＝＝＝＝.
答案　D
7．已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋2)＝n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析　由log2(Sn＋2)＝n＋1，得
Sn＋2＝2n＋1，Sn＝2n＋1－2.
当n＝1时，S1＝a1＝22－2＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.
当n＝1时也成立，故an＝2n.
答案　2n
8．在等比数列{an}中，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q＝________.
解析　a4－a3＝2(S3－S2)＝2a3，∴a4＝3a3.
∴q＝＝3.
答案　3
9．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，有下列三个命题：
①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；
②若Sn＝an(a为非零常数)，则{an}是等比数列；
③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列．
其中真命题的序号是________．
解析　易知①是真命题，由等比数列前n项和Sn＝＝－·qn知②不正确，③正确．
答案　①③
10．已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N
，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求：
(1)p，q的值；
(2)数列{xn}前n项和Sn.
解　(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q且x1＋x5＝2x4，得
3＋25p＋5q＝25p＋8q.
解得p＝1，q＝1.
(2)由(1)知xn＝2n＋n，
∴Sn＝x1＋x2＋…＋xn
＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)
＝2n＋1－2＋.
11．设数列{an}满足关系：an＝an－1＋5(n≥2)，a1＝－，令bn＝an＋10，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　由a1＝－，an＝an－1＋5，bn＝an＋10，知
bn＝an＋10＝an－1＋15
＝(an－1＋10)＝bn－1.
又b1＝a1＋10＝10－＝.
∴数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，故
Sn＝＝3＝3n－3.
12．某单位从市场上购进一辆新型轿车，购价为36万元，该单位使用轿车时，一年需养路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元，同时该车的年折旧率为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%，当年折旧的费用也为该年花费在该车上的费用)，试问：使用多少年后，该单位花费在该车上的费用就达36万元，并说明理由．
解　用an表示该单位第n年花费在轿车上的费用，则有
a1＝6＋36×0.1，
a2＝6＋(36×0.9)×0.1，
a3＝6＋(36×0.92)×0.1，…，
类推可得an＝6＋(36×0.9n－1)×0.1.
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝6n＋36×0.1×[1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n－1]
＝6n＋3.6×
＝6n＋36(1－0.9n)．
令Sn＝36，得n＝6×0.9n，0.9n＝.
注意到1当n＝4时，0.94＝0.6561，＝≈0.6667，所以n＝4.
故使用4年后，花费在轿车上的费用就已达到36万元．