2.5 等比数列的前n项和 教案1
文档属性
| 名称 | 2.5 等比数列的前n项和 教案1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 17.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-08 15:29:43 | ||
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文档简介
2.5
等比数列的前n项和
教案
教学目标
一、知识与技能?
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；?
2.探索并掌握等比数列前n项和公式；?
3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；?
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.??
二、过程与方法?
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；?
2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.??
三、情感态度与价值观?
1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；?
2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；?
3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
教学重点
1.等比数列前n项和公式的推导；
2.等比数列前n项和公式的应用.?
教学难点
等比数列前n项和公式的推导.?
教学建议
上节课师生共同分析探究了等比数列的前n项和公式，从多种角度探索了等比数列前n项和公式的推导方法，在此基础上，这节课会进一步将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式综合在一起应用成为可能.?
等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1，an，q，n，Sn五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大，训练要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”.?
求数列前n项和，不仅仅是数学中的数列知识的演绎，更主要的是实际生活中的许多等比数列问题需要用数列的知识加以解决.例如，教育储蓄问题、住房贷款问题等等，都是与数列求和有关的生活中的实际问题.通过数列知识在现实生活中广泛的应用，使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等比数列模型的过程，探索并掌握其中的一些基本的数量关系，感受数列这种特殊的数学模型的广泛应用，在运用它解决一些实际问题的过程中更多地体会数学的应用价值.同时，在解决问题的过程中也能对学生的价值观和世界观的培养有着积极的影响，充分发挥数学的教育功能.?
教材例题3设计了一个与计算机相呼应的空间，明确指出：计算机可以帮助我们求一般数列的和.教师要让学生体会到循环结构既可用于数列描述，又可用于数列求和.从这里我们应该认识到，教材的设计和安排给学生和教师都留下了一定的空间，这个空间需要我们把握好，充实好.因此，这里需要适当地安排对一般数列求和的习题和练习，使学生对一般数列的求和有个简单的认识.?
数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法的思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.?
导入新课一
师
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？
生
知道一些，踊跃发言.?
师
“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.??
师
假定千粒麦子的质量为40
g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？?
生
各持己见.动笔，列式，计算.?
生
能列出式子：麦粒的总数为?
1+2+22+…+263=？?
师
这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.
课件展示：?
1+2+22+…+2
63=？
师
我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.?
现在我们来思考一下这个式子的计算方法：?
记S=1+2+22+23+…+2
63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.
课件展示：?
S=1+2+22+23+…+2
63，①?
2S=2+22+23+…+263+264，②?
②-①得?
2S-S=2
64-1.?
264-1这个数很大，超过了1.84×10
19，假定千粒麦子的质量为40
g，那么麦粒的总质量超过了7
000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
师
国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.
导入新课二
(一)．复习旧知：
问题1:等比数列定义及通项公式；
问题2:等比数列的项之间有何特点？
说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以，从而为“错位相减法”求等比数列前和埋下伏笔。
(二)问题情境：
问题3:从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。请在座的同学思考一下，帮穷人出个主意.
注：师生合作分别给出两个和式：
①学生会求，对②学生知道是等比数列项前和的问题但却感到不会解！
问题4：能不能用等差数列求和方法去求？(不行)
等比数列的前n项和
教案
教学目标
一、知识与技能?
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；?
2.探索并掌握等比数列前n项和公式；?
3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；?
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.??
二、过程与方法?
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；?
2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.??
三、情感态度与价值观?
1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；?
2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；?
3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
教学重点
1.等比数列前n项和公式的推导；
2.等比数列前n项和公式的应用.?
教学难点
等比数列前n项和公式的推导.?
教学建议
上节课师生共同分析探究了等比数列的前n项和公式，从多种角度探索了等比数列前n项和公式的推导方法，在此基础上，这节课会进一步将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式综合在一起应用成为可能.?
等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1，an，q，n，Sn五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大，训练要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”.?
求数列前n项和，不仅仅是数学中的数列知识的演绎，更主要的是实际生活中的许多等比数列问题需要用数列的知识加以解决.例如，教育储蓄问题、住房贷款问题等等，都是与数列求和有关的生活中的实际问题.通过数列知识在现实生活中广泛的应用，使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等比数列模型的过程，探索并掌握其中的一些基本的数量关系，感受数列这种特殊的数学模型的广泛应用，在运用它解决一些实际问题的过程中更多地体会数学的应用价值.同时，在解决问题的过程中也能对学生的价值观和世界观的培养有着积极的影响，充分发挥数学的教育功能.?
教材例题3设计了一个与计算机相呼应的空间，明确指出：计算机可以帮助我们求一般数列的和.教师要让学生体会到循环结构既可用于数列描述，又可用于数列求和.从这里我们应该认识到，教材的设计和安排给学生和教师都留下了一定的空间，这个空间需要我们把握好，充实好.因此，这里需要适当地安排对一般数列求和的习题和练习，使学生对一般数列的求和有个简单的认识.?
数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法的思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.?
导入新课一
师
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？
生
知道一些，踊跃发言.?
师
“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.??
师
假定千粒麦子的质量为40
g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？?
生
各持己见.动笔，列式，计算.?
生
能列出式子：麦粒的总数为?
1+2+22+…+263=？?
师
这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.
课件展示：?
1+2+22+…+2
63=？
师
我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.?
现在我们来思考一下这个式子的计算方法：?
记S=1+2+22+23+…+2
63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.
课件展示：?
S=1+2+22+23+…+2
63，①?
2S=2+22+23+…+263+264，②?
②-①得?
2S-S=2
64-1.?
264-1这个数很大，超过了1.84×10
19，假定千粒麦子的质量为40
g，那么麦粒的总质量超过了7
000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
师
国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.
导入新课二
(一)．复习旧知：
问题1:等比数列定义及通项公式；
问题2:等比数列的项之间有何特点？
说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以，从而为“错位相减法”求等比数列前和埋下伏笔。
(二)问题情境：
问题3:从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。请在座的同学思考一下，帮穷人出个主意.
注：师生合作分别给出两个和式：
①学生会求，对②学生知道是等比数列项前和的问题但却感到不会解！
问题4：能不能用等差数列求和方法去求？(不行)