2.5 等比数列的前n项和 教案3

2.5
等比数列前n项和
教案
?
教学目标?
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；?
2.探索并掌握等比数列前n项和公式；?
3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；?
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.??
教学重点
1.等比数列前n项和公式的推导；?
2.等比数列前n项和公式的应用.?
教学难点
等比数列前n项和公式的推导.?
教学过程
导入新课
问题
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？
?
问题
“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.??
问题
假定千粒麦子的质量为40
g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？?
问题
这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.
课件展示：?
1+2+22+…+2
63=？
问题
我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.?
现在我们来思考一下这个式子的计算方法：?
记S=1+2+22+23+…+2
63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.
课件展示：?
S=1+2+22+23+…+2
63，①?
2S=2+22+23+…+263+264，②?
②-①得?
2S-S=2
64-1.?
264-1这个数很大，超过了1.84×10
19，假定千粒麦子的质量为40
g，那么麦粒的总质量超过了7
000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
问题
国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.
推进新课
［合作探究］?
问题
在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+qn=？?
问题
这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.?
?
问题
若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？?
如果记Sn=1+q+q2+…+qn，?
那么qSn=q+q2+…+qn+q
n+1.?
要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-qn.?
问题
提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.?
如果q≠1，则有.?
问题
当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果.?
如果q＝1，那么Sn=n.?
问题
上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？
课件展示：?
a1+a2+a3+…+an=？
［教问题精讲］?
问题
在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.?
问题
在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.?
如果记Sn=a1+a2+a3+…+an，?
那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq，?
要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.?
问题
再次提醒学生注意q的取值.?
如果q≠1，则有.?
问题
上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：?
如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q
n-1，?
那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn，?
要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.?
如果q≠1，则有.?
问题
上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.
形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1，
q，an，Sn，n中a1，q，an，Sn四个；后者出现的是a1，q，Sn，n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.
值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.?
问题
现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？
问题
完全正确.?
如果q＝1，那么Sn=nan.正确吗？怎么解释？?
?
问题
等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：??
［合作探究］?
思路一：根据等比数列的定义，我们有：，?
再由合比定理，则得，?
即，?
从而就有(1-q)Sn=a1-anq.?
(以下从略)?
思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an得?
Sn=a1+a1q+a2q+…+a
n-1q=a1+q(a1+a2+…+a
n-1)=a1+q(Sn-an)，?
从而得(1-q)Sn=a1-anq.?
(以下从略)?
问题
探究中我们们应该发现，Sn-S
n-1?=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？?
?
问题
对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-S
n-1=an，n＞1.?
问题
综合上面的探究过程，我们得出：?
或者
［例题剖析］?
【例题1】
求下列等比数列的前8项的和：?
(1)，，，…；?
(2)a1=27，a9=，q＜0.?
［合作探究］?
问题生共同分析：?
由(1)所给条件，可得，，求n＝8时的和，直接用公式即可.?
由(2)所给条件，需要从中获取求和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而?a9=a1q8，所以由条件可得q8=
=，再由q＜0，可得，将所得的值代入公式就可以了.?
【例题2】
某商场今年销售计算机5
000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30
000台(结果保留到个位)？?
问题
根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30
000求n的问题.?
解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5
000，q=1+10%=1.1，Sn=30
000.?
于是得到，?
整理得1.1n=1.6，?
两边取对数，得nlg1.1=lg1.6，?
用计算器算得≈≈5(年).?
答：大约5年可以使总销售量达到30
000台.?
课堂小结
本节学习了如下内容：?
1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.?
2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.?
在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.