2.5 等比数列的前n项和 同步练习1（含答案）

2.5
等比数列的前n项和
同步练习
1．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝(　　)
A．33　　　　　　　　
B．72
C．84
D．189
解析　∵a1＝3，a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝21，
∴1＋q＋q2＝7.
解得q＝2，或q＝－3(舍去)．∴a3＝a1q2＝12.
∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝12×7＝84.
答案　C
2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a5＋a6＝(　　)
A．80
B．90
C．95
D．100
解析　∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝40，
a3＋a4＝a3(1＋q)＝60，
∴q2＝＝.
∴a5＋a6＝q2(a3＋a4)＝×60＝90.
答案　B
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零的常数)，则数列{an}(　　)
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
解析　由Sn＝an－1，知当a＝1时，
Sn＝0，此时{an}为等差数列(an＝0)．
当a≠1时，{an}为等比数列．
答案　C
4．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…前n项和等于(　　)
A．2n＋1－n
B．2n＋1－n－2
C．2n－n
D．2n
解析　解法1：当a1＝1，
a2＝3，a3＝7，…，
an＝2n－1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)
＝2＋22＋23＋…＋2n－n
＝－n＝2n＋1－2－n.
解法2：取n＝2，则S2＝4，排除A，C，取n＝3，则S3＝11，排除D.
答案　B
5．已知数列a，a
(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≠1
B．a≠0或a≠1
C．a≠0
D．a≠0且a≠1
解析　由等比数列的定义，知a≠0，且a≠1.
答案　D
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
解析　依题意，有4S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，
即a2＝3a3，∴q＝＝.
答案　
7．若{an}是等比数列，下列数列中是等比数列的序号为________．
①{a}；②{a2n}；③{}；④{lg|an|}
答案　①②③
8．求数列，，，，…的前n项和．
解　Sn＝＋＋＋＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝＋
＝＋1－.
9．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
解　设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，
a6＝a4＋2d＝10＋2d，
a10＝a4＋6d＝10＋6d，
由a3，a6，a10成等比数列，得a3·a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，
解得d＝0，或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200.
当d＝1时，a1＝a4－3d＝7.
于是S20＝20a1＋×d＝20×7＋190＝330.
10．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
解　(1)设{an}的公比为q，由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴q＝2.因此{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由题意Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.
11．已知公差不为0的等差数列{an}的前4项的和为20，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝n×2an，求数列{bn}的前n项和，并判断是否存在n(n∈N
)，使得Sn＝1440成立？若存在，求出所有n的解；若不存在，请说明理由．
解　(1)设{an}的公差为d，依题意得
即解得∴an＝2n.
(2)∵bn＝n×22n＝n×4n，
∴Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，
4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，
两式相减，得
－3Sn＝4＋42＋43＋…＋4n－n×4n＋1
∴Sn＝4n＋1＋.
令4n＋1＋＝1440，化简得(3n－1)4n＝3239.
∵左边为偶数，右边为奇数，∴方程无解．即不存在n∈N
，使Sn＝1440成立．