课件25张PPT。2.4 等比数列第一课时/等比数列的概念与通项公式 新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例: (1)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题,由于每一个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23,…,263.
(2)有一种数码产品,其售价为3000元,年折旧率约为20%(就是说这种数码产品每年减少它价值的20%),那么该产品从购买当年算起,逐年的价值依次为3000,3000×0.8,3000×0.82,3000×0.83,….
(3)某人年初投资10000元,如果年收益率是5%,那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.055.想一想 观察实例中的数列,它们是等差数列吗?它们中的每个数列,从第二项起与前一项的比有什么特点?
(不是等差数列;比都等于同一个常数)知识探究——自主梳理 思考辨析1.等比数列的定义
如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母q表示(q≠0).
思考1:(1)等比数列的定义用数学符号怎样表示?
(2)常数列一定是等比数列吗? 2同一常数公比(2)不一定,只有非零常数列才是等比数列.2.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 ,那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab.
思考2:(1)任何两个实数都有等比中项吗?
(2)若实数a,b,c成等比数列,一定有b2=ac吗?若b2=ac,则a,b,c一定成等比数列吗?
提示: (1)不一定,由G2=ab知,只有当两个实数同号时才能有等比中项.
(2)一定;不一定,如当a=b=c=0时.等比数列3.等比数列的通项公式
如果等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则等比数列的通项公式an= .
思考3:等比数列{an}的公比为q,第n项an与第m项am(n>m)有何关系?
提示:an=am·qn-m.a1qn-1题型探究——典例剖析 举一反三题型一 等比数列的判断与证明
【例1】 (12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(1)证明:数列{an+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.(2)由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.
∴an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1.………………………………………12分(3)通项法:an=a1qn-1(其中a1、q为非零常数,n∈N*)?{an}为等比数列.题型二 等比数列的通项公式及其应用
【例2】 在等比数列{an}中,
(1)a4=2,a7=8,求an;
(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.答案: (1)B (2)28-n题型三 等比中项的应用
【例3】 已知等比数列{an}中,a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1与a5的等比中项.于是a5=a1q4=16.
设a1与a5的等比中项为G,则G2=16,故G=±4.
即a1与a5的等比中项为±4.题后反思 在等比数列中当两个数异号时,不存在等比中项,当两个数同号时,它们存在两个互为相反数的等比中项,本题中,a1与a5的等比中项就是±a3,注意不要漏解.跟踪训练3-1:已知等差数列{an}中,a1=9,d=1.若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于( )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8备选例题【例2】 数列{an}中,a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列,记bn=a2n-1+a2n(n∈N*).
(1)求a3,a4,a5,a6的值;
(2)求证:{bn}是等比数列.达标检测——反馈矫正 及时总结1.下面四个说法:
①由第一项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比数列;
②常数列b,b,b,…,b一定为等比数列;
③等比数列{an}中,若公比q=1,则此数列各项相等;
④等比数列中,各项与公比都不为零.
正确说法的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:由等比数列的定义知③、④正确.故选C.C(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)2C A 4.在等比数列{an}中,a1=2,a5=162,则数列{an}的公比q= .?
解析:∵a5=a1q4,
∴162=2q4,
∴q4=81,
∴q=±3.
答案: ±3课堂小结3.等比数列的通项公式an=a1qn-1共涉及a1,q,n,an四个量,已知其中三个量可求得第四个量.课件25张PPT。2.4 等比数列新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:给出以下几个等比数列{an}:
(1)1,2,4,8,…,公比q=2;(3)1,-3,9,-27,…,公比q=-3;
(4)2,2,2,2,…,公比q=1.想一想 选取实例中等比数列中的某一个,在其每一项上都乘以同一个非零常数,得到的数列是否还是等比数列?将其每一项变为原来项的倒数,得到的数列是等比数列吗?将其每一项平方,得到的数列是等比数列吗?
(都是等比数列)知识探究——自主梳理 思考辨析等比数列常见性质
若{an}、{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则
(1)对称性:a1an=a2an-1=a3an-2=…=am (n>m);
(2)k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an;
(3)若m,p,n(m、n、p∈N*)成等差数列,则am,ap,an成等比数列;
(4)an=a1qn-1=a2qn-2=…=am (n>m);an-m+1qn-m题型探究——典例剖析 举一反三题型一 等比数列性质的应用
【例1】 (1)在等比数列{an}中,若a2=2,a6=12,则a10= ;?
(2)在等比数列{an}中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于 .?答案: (1)72 (2)-213跟踪训练1-1:(1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10等于( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
(2)在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9·a10·a11等于( )
(A)48 (B)72 (C)144 (D)192题型二 等比数列与等差数列的综合问题
【例2】 (12分)(1)有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8;后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求出这四个数;
(2)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13,则成等差数列,求这四个数.跟踪训练2-1:(1)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a2,a5成等比数列,则a2等于( )
(A)-4 (B)2 (C)3 (D)-3
(2)有四个数,前三个数依次成等比数列,它们的和为19,后三个数依次成等差数列,它们的和为12,则这四个数为 .?答案: (1)C (2)9,6,4,2或25,-10,4,18题型三 等比数列的实际应用
【例3】 某工厂2013年1月的生产总值为a万元,计划从2013年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到2014年8月底该厂的生产总值为多少万元?
名师导引: (1)2013年2月的生产总值为多少万元?(a+a×m%=a(1+m%))
(2)2013年3月的生产总值为多少万元?由此知每月的生产总值构成什么数列?(a(1+m%)2,等比数列)
(3)从2013年1月到2014年8月一共有多少个月?(20个月)题后反思 有关增长率问题,通常用等比数列来建立模型求解.跟踪训练3-1:某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产电脑多少台?解:根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x-d,x,
x+d,(d>0),
则实际上3个月生产电脑台数分别为x-d,x+10,x+d+25,解得x=90,d=10,
故共有(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35
=3×90+35
=305(台),
即该厂第一季度实际生产电脑305台.备选例题【例1】 如图所示的树形图为:第一层是一条与水平线垂直的线段,长度为1;第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135°角的线段,长度为其一半;第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段,重复前面的作法至第n层,设题中树形图(从下而上)新生各层高度所构成的数列为{an}.
(1)试求a2,a3,a4;
(2)求an.【例2】 设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1;达标检测——反馈矫正 及时总结1.已知{an}、{bn}都是等比数列,那么( )
(A){an+bn},{an·bn}都一定是等比数列
(B){an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列
(C){an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比数列
(D){an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列
解析:两个等比数列的乘积仍是一个等比数列.
故选C. CC2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则a1·a15的值为( )
(A)100 (B)-100 (C)10000 (D)-100004.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为 .?解析:设插入的6个正数分别为b2,b3,b4,b5,b6,b7,
则有b2b7=b3b6=b4b5=1×2,
∴b2b3b4b5b6b7=8.
答案:8课堂小结1.在解决与等比数列有关的计算问题时,我们首先想到的方法是通法,即通过解方程组求两个基本量首项a1和公比q,求解过程中要注意整体代换思想的运用,但有些问题合理地选择性质求解,可以减少运算量,提高解题效率.
2.解数列的实际应用问题时,首先要分清是等差数列,还是等比数列;是求某一项,还是求某些项的和,再用相应的公式求解.
