课件26张PPT。2.5 等比数列的前n项和第一课时/等比数列的前n项和 新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:八戒西天取经后,担任了高老庄集团的董事长,因急需大量的资金投入,于是找孙悟空帮忙.悟空一口答应:“行!我每天投资100万连续一个月(30天),但从投资的第一天起,第一天必须还给我1元,第二天还给我2元,第三天还给我4元……”八戒心里打起了小算盘:“第一天:支出1元,收入100万;第二天:支出2元,收入100万;第三天:支出4元,收入100万!哇!发财了!”心里越想越美,再看看悟空的表情,心里又犯了嘀咕:“这猴子老欺负我,会不会又在耍我?”想一想 (1)悟空在一个月中一共投资给八戒多少钱?
(100万×30=3000万)
(2)从第一天开始,八戒每天返还给悟空的钱数分别是多少?
构成了一个怎样的数列?
(1,2,22,…,229;构成公比为2的等比数列)
(3)八戒在一个月中应返还给悟空多少钱?你能用式子表示吗? (能.1+2+22+…+229)
(4)若记S=1+2+22+…+229,在该式等号的两边同乘以公比2,得到的式子与原式有何关系?
(2S=2+22+23+…+230,两式的右边有29项是相同的)
(5)将两式相减能否得到S?
(能,S=230-1)
(6)由问题(5)的结果推断猴子是否又在耍老猪呢?
(八戒在一个月中应还给悟空(230-1)元≈107374万元,远远大于3000万元,因此猴子把老猪耍啦)知识探究——自主梳理 思考辨析2.等比数列的前n项和的性质
(1)在公比不等于-1的等比数列{an}中,连续相同项数和也成等比数列,即:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等比数列,其公比为qn.(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,n∈N*),则数列{an}为等比数列,即Sn=Aqn-A?数列{an}为等比数列.题型探究——典例剖析 举一反三题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算
【例1】 在等比数列{an}中,
(1)S2=30,S3=155,求Sn;
(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
名师导引:利用等比数列的前n项和公式列方程组求解.题后反思 (1)解答关于等比数列的基本运算问题,通常是利用a1,an,q,n,Sn这五个基本量的关系列方程组求解,而在条件与结论间联系不很明显时,均可用a1与q列方程组求解.
(2)运用等比数列的前n项和公式要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程组时,通常用两式相除约分的方法进行消元.跟踪训练1-1:(1)设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}的前7项和为( )
(A)63 (B)64 (C)127 (D)128
(2)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( )题型二 等比数列的前n项和的性质
【例2】 已知等比数列{an}中,前10项和S10=10,前20项和S20=30,求S30.
名师导引: (1)由S10=10及S20=30能否求得该数列第2个10项之和?
(能,S20-S10=30-10=20)
(2)S10,S20-S10,S30-S20是否成等比数列?(是)跟踪训练2-1:在等比数列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6等于( )
(A)140 (B)120 (C)210 (D)520
解析:依题意,a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列,
即402=20(a5+a6),
∴a5+a6=80,
∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=20+40+80=140.故选A.题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) 设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的公比;
(2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解;
(2)利用求和公式,等差中项证明.
(1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1).
由a5,a3,a4成等差数列,
得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分
即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分
由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0,
解得q1=-2,q2=1(舍去),
所以q=-2.………………………………………………………6分(2)证明:法一 对任意k∈N+.
Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)
=ak+1+ak+2+ak+1
=2ak+1+ak+1·(-2)
=0.………………………………………………………………………… 10分
所以对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.………………………………12分题后反思 等差数列与等比数列的综合是高考常见题型,解题关键是找出通项公式,利用等差、等比数列的公式、性质求解.跟踪训练3-1:已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn>0,求数列{bn}的前n项和Tn.备选例题【例1】 某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年淘汰x套旧设备.
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?
(2)依照(1)的更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备?
下列数据供计算时参考:解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b,
由题设可知,1年后的设备为
a×(1+10%)-x=1.1a-x,
2年后的设备为
(1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…,
10年后的设备为达标检测——反馈矫正 及时总结1.在等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为( )
(A)4 (B)-4 (C)2 (D)-2A2.一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为( )
(A)180 (B)108 (C)75 (D)63
解析:此等比数列的中间7项和为12,令后7项和为S,
则48S=122,
所以S=3.
所以前21项和为63.故选D.D3.在等比数列{an}中,若Sn是其前n项和,且S4=3,S8=9,则S12= .?
解析:∵S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,
∴(S8-S4)2=S4(S12-S8),
即(9-3)2=3(S12-9),得S12=21.
答案:21课堂小结1.等比数列的前n项和公式共涉及五个量:a1,q,n,an,Sn,其中a1和q为基本量,且五个量“知三可求二”;在解决等比数列问题中,要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题,养成良好的思维习惯.
2.在解等比数列问题时,要注意合理应用等比数列的性质.
3.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型,要确定a1与项数a的实际含义,同时要搞清是求an还是求Sn的问题.课件26张PPT。2.5 等比数列的前n项和知识探究题型探究达标检测知识探究——自主梳理 思考辨析2.分组法求和
有些数列,通过适当分组,可把它拆分成等差数列和等比数列求和.
3.裂项相消法求和
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
4.错位相减法求和
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,在求和式子的左、右两边同乘等比数列的公比,然后错位相减,使其转化为等比数列的求和问题.题型探究——典例剖析 举一反三题后反思 当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组求和法,即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.题型二 裂项相消法求和
【例2】 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;题后反思 应用裂项求和法的关键是将数列的通项分解为两项之差,且这两项一定是同一个数列的相邻(相间)的两项,然后通过正负抵消,达到化简求和的目的.题型三 错位相减法求和
【例3】 (12分) 已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N*,证明Tn-8=an-1bn+1(n∈N*,n≥2).
名师导引: (1)如何求an、bn?(由条件列方程组求出公差d、公比q即可)
(2)和式Tn有何特点?如何求Tn?(和式中的每一项均是由一等差数列和一等比数列对应项的积构成,故应用错位相减法求Tn)题后反思 (1)若cn=an·bn,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则{cn}的前n项和可用错位相减法求得.
(2)用错位相减法求和时应注意:①两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个等比数列求和.②注意两式相减后所得式子第一项后是加号,最后一项前面是减号.相减后得到一个等比数列的项数多数情况下为n-1.跟踪训练3-1:已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c、k为常数),且a2=4,a6=8a3.
(1)求an;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.备选例题【例1】 已知数列{an}的通项公式an=(-1)n(2n-1),若其前n项和为Sn,
(1)求Sn;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.达标检测——反馈矫正 及时总结B 2.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和为 .?答案:2n+1-2-n4.求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1,(a≠0)的前n项和.
解:当a=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2.
当a≠1时,Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1 ①
则aSn=a+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1+(2n-1)an ②
①-②得(1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an课堂小结1.求数列的前n项和常用方法有公式求和法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.
2.用错位相减法求和时,应注意:
(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以利于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;
(2)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件,如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况讨论.
