太原市数学中考《第二章实数》知识点聚焦

第二章
实数
高频考点
考查频率
所占分值
1．实数的有关概念
★★
2．实数的运算
★★
3．实数与数轴
★
3～5分
4．无理数的估算
★
5．无理数的识别
★★★
知能图谱
(
平方根与立方根
)平方根
立方根
实数与数轴的关系→实数与数轴上的点一一对应
(
有理数
)正有理数
0
(
实数
)
(
实数的分类
)负有理数
无理数无限不循环小数
实数的运算及运算律
实数的大小比较
第3讲
平方根与立方根
知识能力解读
知能解读
(一)算术平方根、平方根的定义及性质
1．算术平方根的定义、表示及性质
(1)定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫作的算术平方根．规定：0的算术平方根是0．
(2)表示方法：的算术平方根记作，读作“根号”，叫作被开方数．
(3)性质：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即．
注意：与的区别与联系
(1)区别：①是先开方再求平方；是先求平方再开方，两者运算顺序不同．②中
的取值范围是，中
取正数、零、负数都可以．
(2)联系：当时，．
2．平方根的定义及性质
(1)定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么叫作的平方根．
(2)表示方法：正数的平方根表示为，读作“正、负根号”．
(3)性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．开平方运算
求一个数的平方根的运算，叫作开平方．平方与开平方互为逆运算．根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根．如的平方为，所以，16的平方根为，即．
4．平方根与算术平方根的区别及联系
(1)区别：
①定义不同：“一个正数”与“一个数”含义不同．
②个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个．
③表示方法不同：正数的平方根表示为，正数的算术平方根表示为．
(2)联系：
①具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种．
②存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有．
③0的平方根、算术平方根均为0．
④可以利用平方和开平方的互逆关系求一个非负数的算术平方根和平方根．
5．平方根(或算术平方根)的几个结论
(1)式子有意义的条件为；
(2)表示的算术平方根，是非负数，即．
(二)立方根的定义及性质
(1)定义：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫作的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫作的立方根．
(2)表示方法：的立方根(或三次方根)表示为，其中
为被开方数，“”中的3为根指数(根指数3不能省略)；读作“三次根号”或“
的立方根”．
(3)性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
(4)有关立方根的补充说明和公式：
①在中，被开方数可为正数、零、负数，且的正负与一致；②；③．
(5)开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方．
开立方与立方是互为逆运算的关系，负数(在实数范围内)不能开平方，但可以进行开立方运算．如的立方为，即，反过来，的立方根为，即；3的立方为27，即，反过来，27的立方根为3，即．
(6)平方根与立方根的区别与联系：
名称
内容
平方根
立方根
表示方法
区别个数
正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根
任意数都只有一个立方根
被开方数
非负数
任意数
联系
①都是开方运算的结果；②0的平方根、立方根都是0
(三)用计算器求平方根或立方根
(1)利用计算器求一个非负数的算术平方根时，只需要直接按书写顺序按键即可；求一个非负数的平方根时，则先求出它的算术平方根，再在前面添加符号．(不同计算器有不同的按键顺序)
注意：(1)用计算器求一个非负数的负的平方根时，一般先求出算术平方根，然后再求其相反数，即负的平方根．
(2)被开方数是分数时应化为小数；被开方数后面的0或小数点后的0比较多时，可先写成科学记数法的形式，再根据将被开方数化简．
(2)利用计算器求一个数的立方根时，只需要直接按书写顷序按键即可，若遇到被开方数是负数时，“－”的输入可按，也可以按．
方法技巧归纳
方法技巧
(一)平方根与立方根的求法
我们知道，平方与开平方、立方与开立方都互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根和立方根．
(二)平方根与立方根性质的应用
平方根的性质：一个正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，即只有非负数才有平方根．
立方根的性质：一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0．
(三)算术平方根与立方根的综合应用
(四)用计算器求算术平方根、立方根
(五)根据一个数的平方根求这个数
易混易错辨析
易混易错知识
1．混淆与．
表示的算术平方根，可以取任意实数；表示的算术平方根的平方，只能取非负数．
2．混淆平方根与立方根的性质．
性质
名称
正数
负数
0
平方根
有两个平方根
没有平方根
0
立方根
一个正的立方根
一个负的立方根
0
注意：开平方时，被开方数要大于或等于0；开立方时，被开方数可以是任意实数．
3．误认为负数没有立方根．
任何数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
易混易错
(一)审题不认真，忽视语言叙述中含有的运算
(二)混淆平方根与算术平方根
(三)在求形如“”的等式中的值时易漏掉为负值的情况
中考试题研究
中考命题规律
本讲是中考的热点内容，注重考查对概念、性质和意义的理解，如平方根、算术平方根的概念以及它们的性质和意义，另外对算术平方根非负性的考查也是重中之重，题型以填空题、选择题为主，有时也与其他知识点综合以解答题的形式出现．
中考试题
(一)平方根、立方根、算术平方根的概念、性质
(二)算术平方根的非负性
第4讲
实数
知识能力解读
知能解读
(一)无理数、实数的定义及分类
1．无理数的定义
无限不循环小数叫作无理数．
点拨：判断一个数是不是无理数，应看这个数是否满足“小数”“无限”和“不循环”这三个条件．
2．实数的定义及分类
有理数和无理数统称实数，实数分类如下：
(1)按定义分类
实数
(2)按性质分类
(
正实数
)正有理数
(
实数
)正无理数
零
(
负实数
)负有理数
负无理数
(二)实数的有关性质
数的范围从有理数扩充到实数以后，实数范围内的相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样．
(1)实数的相反数为；0的相反数是其本身；若与互为相反数，则，反之亦然．
(2)实数的绝对值表示为；一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即．
(3)实数与数轴上的点是一一对应的，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
点拨：已知实数，在数轴上对应的点分别为，，则用，分别表示点、点到原点的距离；表示点到点的距离．这是绝对值的几何意义．
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
(三)实数的运算
实数和有理数一样，可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算；有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用．
交换律：，；
结合律：，；
分配律：．
(四)实数的大小比较
(1)数轴比较法：
(2)代数比较法；
(3)差值比较法；
(4)商值比较法；
(5)倒数比较法：若，，，则；
(6)平方比较法：若，，，则；
(7)开方比较法：若，，，则；
(8)估算法：在实数的大小比较中，当遇到无理数时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替，再进行比较．
方法技巧归纳
方法技巧
(一)无理数的识别
识别无理数，常常与有理数综合在一起进行辨析，主要把握“无限”和“不循环”两个特点．
初中所学的无理数归纳起来有三类：
(1)开方开不尽的数的方根，如；(2)化简后含有的数，如；(3)特殊结构的无限不循环小数(构造型的无理数)，如(相邻两个2之间依次多一个0)．
(二)实数大小比较的方法
实数的大小比较包括有理数的大小比较和无理数的大小比较，另外还包括有理数与无理数的大小比较．有时综合多个知识点进行考查．常用的方法有特殊值法、平方法等．
(三)实数与数轴的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不全表示有理数，因此有理数与数轴上的点之间不是一一对应关系；所有的无理数都能用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示无理数，所以无理数与数轴上的点也不是一一对应关系；数轴上的每一个点都表示实数，且所有的实数都能用数轴上的点来表示，所以实数与数轴上的点是一一对应关系．
拓展：有序实数对与坐标平面上的点之间也是一一对应关系．
(四)实数的运算
当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实效可以进行开立方运算．在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算律等同样适用．
(五)实数性质的应用
(六)借助数轴化简
易混易错辨析
易混易错知识
1．对无理数的概念理解不透彻，只看表面形式．
(1)带根号的不一定都是无理数，如是有理数；
(2)不带根号的不一定不是无理数，如是无理数．
2．误认为有分数线的数就是分数，导致判断失误，如不是分数，它是无理数．
3．混淆有理数与数轴和实数与数轴的关系，误认为有理数和数轴上的点也是一一对应的．
易混易错
混淆无理数与有理数
中考试题研究
中考命题规律
本讲主要考查实数的概念、性质及计算，尤其是实数的大小比较、实数与数轴的关系、实数中的新定义运算及规律探究等，是中考热点，无理数的估算是近几年中考的热点题目．题型以填空题、选择题为主．
中考试题
(一)实数的大小比较
(二)无理数的估算
(三)无理数的识别
(四)实数的运算
(五)实数中的新定义题
(六)实数运算中的规律探究问题(探究性考点)