太原市数学中考《第五章分式》知识点聚焦

第五章
分式
高频考点
考查频率
所占分值
1．分式有无意义的条件
★★
2．分式的值为0的条件
★
3．分式的基本性质
★★
4．分工的约分、通分
★
5．分式的加减法
★★
3～10分
6．分式的乘除法
★★
7．分式的混合运算
★★★
8．分式的化简、求值
★★★
知能图谱
分式的有关概念
(
通分
)最简公分母
(
分式的基本性质
)依据：分式的基本性质，(是不等于0的整式)
关键：确定最简公分母
(
分式
)依据：分式的基本性质
(
约分
)方法：最简分式或整式
关键：确定分子与分母的公因式
分式的加减
(
分式的运算
)分式的乘除
分式的混合运算：结果化为最简分式或整式
第11讲
分式及其性质
知识能力解读
知能解读
(一)分式的概念
一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式．分式会中叫作分子，叫作分母．
注意：(1)判断一个式子是否为分式，关键是看分母中是否有字母．
(2)分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母，如，是整式，而是分式．
(3)分式有无意义的条件：①若，则分式有意义；②若，则分式无意义．
(4)分式的值为零的条件：若，则分式的值为零，反之也成立．
(二)分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．
用式子表示是：，，其中，，是整式．
注意：(1)分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆．利用分式的基本性质，可以在不改变分式的值的条件下，对分式作一系列的变形．
(2)当分式的分子(或分母)是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子(或分母)用括号括上．再将分子与分母同乘(或除以)相同的整式．
(三)约分、最简分式及通分的概念
(1)约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．
说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式，找公因式的方法：(1)当分子和分母都是单项式时，先找出它们系数的最大公约数，再确定相同字母的最低次幂，它们的乘积就是分子与分母的公因式．(2)当分子、分母是多项式时，先将分子、分母因式分解，把分子、分母化为几个因式的积后，再找出分子、分母的公因式．
约分应注意一定要把公因式约尽，还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式．当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项．例如是错误的．
(2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式．判断一个分式是否为最简分式，关键是确定其分子与分母是否有公因式(1除外)．
分式的约分，一般要约去分子和分母的所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式．
注意：(1)最简分式与小学学过的最简分数类似．
(2)最简分式是对一个独立的分式而言的，最大的特点是只有一条分数线．形如，的分式都不是最简分式．
(3)通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
(4)最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积，叫作最简公分母．
注意：确定最简公分母的一般方法：
(1)如果各分母都是单项式，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的．这样得到的积就是最简公分母．
(2)如果各分母都是多项式，就要把它们分解因式，再按照分母是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求．
方法技巧归纳
方法技巧
(一)应用分式概念解题的规律
1．分式的判别方法
根据定义判定式子是否为分式要注意两点：一是，都是整式，二是中含字母且．判断一个代数式是否为分式，还应注意不能把原式变形(如约分等)，而只能根据它的最初形式进行判断．如根据，判定不是分式，这是错误的．
2．对分式有无意义或值为0的条件判断
(二)分式基本性质的应用
分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键．利用分式的基本性质可将分式恒等变形，化简分式，简化计算等．
1．约分
2．通分
(三)分式值的特殊情况(拓展)
1．分式的值为1或的讨论
若分成，则，反之也成立；若分式，则与互为相反数，反之也成立．
2．分式的值为正数的讨论
分式的值为正数时，分式的分子与分母同号，利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范围．
3．分式的值为负数的讨论
分式的值为负数时，分式的分子与分母异号，利用这一关系构造不等式组可求出待定字母的取值范范围．
4．分式的值为整数的讨论
若分式的值为整数，则分母必为分子的约数，利用这一关系可对分母进行讨论．
易混易错辨析
易混易错知识
1．误认为只要分子等于0，就能使分式的值为0．
2．利用分式基本性质把分子、分母都乘(或除以)非零整式时，只乘(或除以)其中某些项，有漏乘(或漏除)的项．
3．分式变号时极易出错，易误只将分子或分母的第一项改变符号．
易混易错
(一)分式基本性质的误用
(二)忽视分式值为0的前提条件
(三)约分时易出现符号错误
(四)确定最简公分母出错
中考试题研究
中考命题规律
本讲考点是考查分式有无意义、分式的值为零条件的判断，以及用分式基本性质进行变形；以填空题、选择题及简单的解答题的形式出现．
中考试题
(一)对分式概念的理解
(二)分式基本性质的应用
(三)确定最简公分母
第12讲
分式的运算
知识能力解读
知能解读
(一)分式的乘除法
分式的乘除法与分数的乘除法类似，法则如下：
(1)乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示是：．
(2)除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示是：．
(3)分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方，用式子表示是：(是正整数)．
注意：(1)法则中的字母，，，所代表的可以是单项式，也可以是多项式．
(2)运算的结果必须是最简分式或整式．
(二)分式的加减法
1．同分母分式加减法的法则
与同分母的分数加减法类似，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用式子表示是：．
注意：(1)“同分母分式相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减，即当分子是多项式时，应将各分子加括号，括号不能省略，
(2)运算结果必须化为最简分式或整式．
2．异分母分式加减法的法则
与异分母的分数加减法类似，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
用式子表示是：．
(三)分式的混合运算
分式的混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后算加减；遇到括号，先算括号内的；在同级运算中，从左向右依次进行．
注意：(1)实数的运算律对分式同样适用，注意灵活运用，提高解题的质量和速度．
(2)结果必须化为最简分式或整式．
(3)分子或分母的系数是负数时，要把“－”提到分数线的前边．
(4)对于分式的乘除混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，分子、分母是多项式时，可先将分子、分母分解因式，再相乘．
方法技巧归纳
方法技巧
(一)分式的乘除法及乘方运算的解题技巧
1．分式的乘除法
分式的乘除运算可以统一成乘法运算，分式的乘法一般情况下是先约分再相乘，这样做省时简单易行，又不易出错；当除式(或被除式)是整式时，可以看作分母是1的式子，然后再按分式的乘除法则计算．
2．分式的乘方
做分式乘方时，一是注意养成先确定结果的符号，再做其他运算的良好习惯；二是注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减．
(二)分式加减运算的解题技巧
分式的加减法与分数的加减法的运算法则实质是相同的，分为同分母加减法和异分母加减法，所不同的是分式的加减运算比分数的加减运算要复杂得多，它是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用．分式加减运算需要运用较多的基础知识，运算步骤增多，符号变换复杂，解题方法灵活多样．
(三)分式化简、求值的解题技巧
分式的化简、求值问题，一是化简要求值的分式，只要能化简就考虑化简；二是化简已知条件，化到最简后，再考虑代入求值．
(四)分式混合运算的解题技巧
分式的混合运算，除了掌握运算顺序外，在运算过程中，可灵活运用交换律、结合律、分配律使运算简化，值得提醒的是最后结果必须是最简分式或整式．
(五)分式通分的解题技巧
分式的加减运算，分同分母分式相加减和异分母分式相加减，对于异分母分式的加减法，有时直接通分会很繁琐，我们可以根据式子的特点，灵活的采用不同的方法通分，从而起到事半功倍的效果．
1．分组通分
2．逐项通分
3．公式的运用
易混易错辨析
易混易错知识
在分式的乘除运算或混合运算中，运算顺序易出错．
在分式的混合运算中，若有括号，先算括号里面的，同级运算应按从左到右的顺序依次进行．
易混易错
(一)运算顺序有误
(二)分子符号出错
(三)运算结果不是最简分式
(四)错用运算律
中考试题研究
中考命题规律
本讲考查的知识面广，综合性强．中考热点是分式的运算及分式的化简、求值，常与二次根式、三角函数等知识结合起来命题，题型以解答题为主，也出现填空题．近几年又出现了开放式的新题型，应给予关注．
中考试题
(一)分式的加减
(二)分式的乘除
(三)分式的混合运算
(四)分式的化简求值