3.2 一元二次不等式及其解法 课件2

课件15张PPT。3.2一元二次不等式的解法1、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式．
2、二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系自学导引没有实数根{x|xx2} ：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)具备哪些条件时，解集为R或?？
提示：当a>0，Δ<0时，解集为R.当a<0，Δ≤0时，解集为?.
1、解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)，或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m0，则可得x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得m名师点睛2、含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)，一根
(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，
x1＝x2，x1 题型一　一元二次不等式的解法 例1、求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x>6；
(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x>6.
[思路探索] 先将二次项系数化为正，再求对应方程的根．并根据情况结合二次函数图象，写出解集．
解　(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0.
∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.
∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，
（3）由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，
而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.
∴不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1 当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．
解下列不等式
(1)2x2－x＋6>0；
(3)(5－x)(x＋1)≥0.
解　(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，
∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．
∴原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝62－40＝－4<0，
∴原不等式的解集为?.
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
【变式1】 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1解　法一　由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
【变式2】 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围． 误区警示　忽略二次项系数为零而出错【示例】　　　　当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．
正解： 当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
所以a＝2时成立．
当a－2≠0时，由题意得
即解得－2综上所述可知：－2 二次项系数含参数时，要严格分系数为正，系数为0，系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，只要题目没有明确说明不等式是一元二次不等式，就必须讨论这种情况．1.解一元二次不等式的一般步骤
（1）对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2 ＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx+c<0(a>0)；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的两根；
(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．课程总结2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：
(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；
(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；
(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；
(4)判断二次不等式两根的大小．
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