3.1 不等关系与不等式 同步练习3（含答案）

3.1
不等关系与不等式
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．若x>1>y，下列不等式不成立的是(　　)
A．x－1>1－y　　　　　
B．x－1>y－1
C．x－y>1－y　
D．1－x>y－x
[答案]　A
[解析]　特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1<1－(－1)＝1－y，故A不正确．
2．设a＝100.1，
b＝0.110，c＝lg0.1，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aB．a>b>c
C．b>a>c　
D．c>a>b
[答案]　B
[解析]　∵100.1>100，∴100.1>1.
又∵0.110<0.10，∴0<0.110<1.
∵lg0.1∴a>1，0b>c，选B．
3．设a＋b<0，且a>0，则(　　)
A．a2<－abB．b2<－abC．a2D．ab[答案]　A
[解析]　∵a＋b<0，且a>0，∴0∴a2<－ab4．已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　)
A．a2＞a＞－a2＞－a　
B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2　
D．a2＞－a＞a＞－a2
[答案]　B
[解析]　∵a2＋a<0，∴0－a2>a，
∴a<－a2[点评]　可取特值检验，∵a2＋a<0，即a(a＋1)<0，令a＝－，则a2＝，－a2＝－，－a＝，∴>>－>－，即－a>a2>－a2>a，排除A、C、D，选B．
5．设a，b∈R，则(a－b)·a2<0是aA．充分非必要条件　
B．必要非充分条件
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　由(a－b)·a2<0得a≠0且a6．如果a＞0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么(　　)
A．M＞N　
B．M＜N
C．M＝N　
D．M、N的大小无法确定
[答案]　A
[解析]　M－N＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga，若a>1，则a3>a2，∴>1，∴loga>0，∴M>N，若00，∴M>N，故选A．
二、填空题
7．已知a＞b＞0，且c＞d＞0，则与的大小关系是________．
[答案]　＞
[解析]　∵c＞d＞0，∴＞＞0，
∵a＞b＞0，∴＞＞0，
∴＞.
8．若a、b、c、d均为实数，使不等式>>0和ad[答案]　(2，1，－1，－2)
[解析]　由>>0知，a、b同号，c、d同号，且－＝>0.
由ad所以在取(a，b，c，d)时只需满足以下条件即可：
①a、b同号，c、d同号，b、d异号；
②ad令a>0，b>0，c<0，d<0，
不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，
则d<＝－，
取d＝－2，
则(2，1，－1，－2)满足要求．
三、解答题
9．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较an＋bn与an－1b＋abn－1的大小．
[解析]　(an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a)＝(a－b)(an－1－bn－1)，
(1)当a＞b＞0时，an－1＞bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，
(2)当0＜a＜b时，an－1＜bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，
∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(
an－1－bn－1)＞0.∴an＋bn＞an－1b＋abn－1.
10．如果30＜x＜42，16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及的取值范围．
[解析]　46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32，
∴－18＜x－2y＜10；
∵30即＜＜.
能力提升
一、选择题
1．若－<α<β<，则α－β的取值范围是(　　)
A．(－π，π)　
B．(0，π)
C．(－π，0)　
D．{0}
[答案]　C
[解析]　∵－<β<，∴－<－β<，
又－<α<，∴－π<α－β<π，
又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.
2．(2014·天津理，7)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)
A．充分不必要条件　
B．必要不充分条件
C．充要条件　
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　本题考查简易逻辑中充分性、必要性．
当a>b>0时，a|a|－b|b|＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0成立，
当b0成立，
当b<00成立，
∴a>b a|a|>b·|b|；
同理由a|a|>b|b| a>b.选C．
3．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是(　　)
A．>　
B．a＋>b＋
C．a＋>b＋　
D．>
[答案]　C
[解析]　解法一：由a>b>0 0<< a＋>b＋，故选C．
解法二：(特值法)令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝，b＝，排除B．
4．若＜＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.其中正确的有(　　)
A．1个　
B．2个
C．3个　
D．4个
[答案]　B
[解析]　∵＜＜0，∴a＜0，b＜0，a＞b，故③错；
∴ab＞0，∴a＋b<0又0＞a＞b，∴|a|＜|b|.∴②错；
∵＋＝＝＝＋2
且a－b＜0，ab＞0，∴＋＞2，∴④成立．
∴①④正确．选B．
二、填空题
5．若规定＝ad－bc(a、b∈R，a≠b)，则与的大小关系为________．(填“>”“＝”“<”)
[答案]　>
[解析]　∵＝a2＋b2，
＝ab－(－ab)＝2ab，
∴－＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
∵a≠b，∴(a－b)2>0，
∴>.
6．若a>b>c，则＋________(填“>”、
“＝”、“<”)．
[答案]　>
[解析]　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>，a－c>0.
∴＋－
＝
＝
＝>0.
∴＋>.
三、解答题
7．设a＞0，a≠1，t＞0比较logat与loga的大小．
[解析]　logat＝loga，
∵－＝＝，
∴当t＝1时，＝；当t＞0且t≠1时.＞.
∵当a＞1时，y＝logax是增函数，
∴当t＞0且t≠1时，loga＞loga＝logat.
当t＝1时，loga＝logat.
∵当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，
∴当t＞0且t≠1时，loga＜loga＝logat，
当t＝1时，loga＝logat.
综上知，当t＝1时，loga＝logat；当t＞0且t≠1时，若a＞1则loga＞logat；若0＜a＜1则loga＜logat.
8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
[解析]　∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴f(－2)＝4a－2b.
又∵1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，
∴，
设存在实数m、n使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b.
∴，
解得.
∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
又∵3≤a＋b≤4，3≤3(a－b)≤6，
∴3＋3≤4a－2b≤4＋6，
即6≤f(－2)≤10.