3.2 一元二次不等式及其解法 同步练习1（含答案）

3.2
一元二次不等式及其解法
同步练习
一、一元二次不等式的解法
例1　求下列不等式的解集
(1)－2x2－x＋1>0；
(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.
解　
总结　一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步，化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．
变式训练1　求下列关于x的不等式的解集．
(1)－x2＋7x>6；
(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.
解　
二、解含参数的一元二次不等式
例2　解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解　
总结　解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．
变式训练2　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解　
三、一元二次不等式与一元二次方程的关系
例3　若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．
解　
总结　利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．
变式训练3　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α0的解集．
解　
课堂小结：
1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．
2．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．
3．由一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0
(a>0))的解集为{x|xx2}(或{x|x1(x13.2　一元二次不等式及其解法特色训练(二)
一、分式不等式或简单高次不等式的解法
例1　解下列不等式：
(1)≥－2；(2)≤0.
解　
总结　(1)解分式不等式切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．而应先移项，再转化为整式不等式求解．
(2)利用穿针引线法解高次不等式，解集端点是否包括，应做细致考查．
变式训练1　解下列不等式：
(1)>1；(2)≤1－.
解　
二、恒成立问题
例2　设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解　
总结　含参数的二次不等式在某区间内恒成立，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数在区间上的最值来处理；方法二是分离出参数再去求函数的最值．
变式训练2　若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有实数都成立，求x的取值范围．
解　
三、一元二次方程根的分布
例3　设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，
x2，且0解　
总结　解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组，进而求解．
变式训练3　若方程4x＋(m－3)·2x＋m＝0有两个不相同的实根，求m的取值范围．
解　
课堂小结
1．解分式不等式时一定要等价变形为一边为零的形式，再化归成整式不等式(组)或高次不等式．若不等式含有等号时，分母不为零．
2．用数轴穿根法解高次不等式的过程可简记为“化正、化积、穿根、写出”四个步骤，某些点是保留还是去掉，要认真检查．
3．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立 a>f
(x)max；(2)a4．解有关一元二次方程根的分布及其他综合问题，要注意结合对应的二次函数图象特征，使问题更简单、直观．
3.2　一元二次不等式及其解法特色训练(一)参考答案
例1　
解　(1)由－2x2－x＋1>0，得2x2＋x－1<0，因式分解得(x＋1)(2x－1)<0，
∴－1(2)∵x2－x＋1＝2＋>0，∴(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.
即解不等式x2－x－1>0，由求根公式知x1＝，x2＝.
∴x2－x－1>0的解集是.
∴原不等式的解集为.
变式训练1　
解　(1)∵－x2＋7x>6，∴－x2＋7x－6>0.∴x2－7x＋6<0，∴(x－1)(x－6)<0.
∴1(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，因式分解得(x－m)[x－(m＋1)]<0.
∵m例2　解　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
当a＝0时，x≤－1；当a>0时，x≥或x≤－1；当－2当a＝－2时，x＝－1；当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当a>0时解集为；
当a＝0时解集为；
当－2当a＝－2时，解集为；
当a<－2时，解集为.
变式训练2　解　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0.
∵a2－a＝a(a－1)．
∴当a<0或a>1时，aa2}．
当0a}．
当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．
综上知，当a<0或a>1时，不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0或1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．
例3　解　由ax2＋bx＋c≥0的解集为，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，
∴，∴b＝－a，c＝－a.
所以不等式cx2－bx＋a<0可变形为x2－x＋a<0，
即2ax2－5ax－3a>0.
又因为a<0，所以2x2－5x－3<0，所以所求不等式的解集为.
总结　利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．
变式训练3　解　∵α、β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴α＋β＝－，αβ＝.∵a<0，
∴cx2＋bx＋a>0同解变形为x2＋x＋1<0.
由根与系数关系将α、β代入，得αβx2－(α＋β)x＋1<0.
即αβ<0，由0<α<β，可知>.
所以不等式cx2＋bx＋a>0的解集为.
3.2　一元二次不等式及其解法特色训练(二)参考答案
例1　
解　(1)≥－2 ＋2≥0 ≥0 ≥0
∴x<2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
(2)≤0 ≥0 ≥0
结合上图，可得原不等式的解集为：(－∞，－3]∪(－2，1]∪(3，＋∞)．
变式训练1　
解　(1)因为x2＋x＋1>0，所以原不等式可化为x＋2>x2＋x＋1，
即x2－1<0，解得－1(2)≤1－ ≤ －≤0 ≤0
≤0 ≥0
∴原不等式解集为(－∞，－2)∪[－1，2)∪[6，＋∞)．
例2　
解　(1)要mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0.
若m≠0， －4∴－4(2)要f(x)<－m＋5，就要使m2＋m－6<0，x∈[1，3]．
方法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1，3]，
当m>0时，g(x)是增函数，∴g(x)max＝g(3)，∴7m－6<0，得m<.
∴0当m＝0时，－6<0恒成立．当m<0时，g(x)是减函数．
∴f(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6.∴m<0.
综上所述，m<.
方法二　∵x2－x＋1＝2＋>0，又∵m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为.∴只需m<即可．
变式训练2　解　不等式变为m(x2－1)－(2x－1)<0，
即f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)<0在{m|－2≤m≤2}上恒成立，
故解得例3　解　设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2.
因为x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，且0所以
－2所以a的取值范围是{a|－2 变式训练3　解　令2x＝t，则原方程变为t2＋(m－3)t＋m＝0，∵t>0.
∴关于t的二次方程有两不同正根的充要条件为：，解得0∴所求m的取值范围为(0，1)．