3.2 一元二次不等式及其解法 同步练习4（含答案）

3.2
一元二次不等式及其解法
同步练习
基础巩固
一、选择题
1．(北京学业水平测试)不等式(x－1)(2x－1)<0的解集是(　　)
A．{x|1B．{x|x<1或x>2}
C．{x|x<或x>1}　
D．{x|[答案]　D
[解析]　方程(x－1)(2x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝，所以(x－1)(2x－1)<0的解集为{x|2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x－3<0}，则M∩N等于(　　)
A．{x|0≤x<1}　
B．{x|0≤x≤2}
C．{x|0≤x≤1}　
D．{x|0≤x≤2}
[答案]　D
[解析]　∵N＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1∴M∩N＝{x|0≤x≤2}，故选D．
3．若{x|20的解集为(　　)
A．{x|x<2或x>3}　
B．{x|2C．{x|D．{x|x<或x>}
[答案]　D
[解析]　由x2＋ax＋b<0的解集为{x|2由韦达定理，得x1＋x2＝－a，x1·x2＝b，
即a＝－5，b＝6.
所以不等式bx2＋ax＋1>0，即6x2－5x＋1>0，解集为{x|x<，或x>}，故选D．
4．不等式<0的解集为(　　)
A．{x|－1B．{x|1C．{x|2D．{x|－1[答案]　A
[解析]　原不等式等价于
解得－15．若0＜t＜1，则不等式x2－(t＋)x＋1＜0的解集是(　　)
A．{x|＜x＜t}　　　　　　
B．{x|x＞或x＜t}
C．{x|x＜或x＞t}　
D．{x|t＜x＜}
[答案]　D
[解析]　化为(x－t)
(x－)＜0，
∵0＜t＜1，∴＞1＞t，∴t＜x＜.
6．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)
A．－4≤a≤4　
B．－4＜a＜4
C．a≤－4或a≥4　
D．a＜－4或a＞4
[答案]　A
[解析]　欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则△＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4.
二、填空题
7．关于x的不等式：x2－(2m＋1)x＋m2＋m＜0的解集是________．
[答案]　{x|m[解析]　解法一：∵方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0的解为x1＝m，x2＝m＋1，且知m＜m＋1.
∴二次函数y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m的图象开口向上，且与x轴有两个交点．
∴不等式的解集为{x|m＜x＜m＋1}．
解法二：注意到m2＋m＝m(m＋1)，及m＋(m＋1)＝2m＋1，
可先因式分解，化为(x－m)(x－m－1)＜0，
∵m＜m＋1，∴m＜x＜m＋1.
∴不等式的解集为{x|m8．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围是________．
[答案]　0[解析]　①若a＝0，则1<0不成立，此时解集为空．
②若a≠0，则∴0三、解答题
9．解下列不等式：
(1)>0；
(2)<0.
[解析]　(1)原不等式等价于(2x－1)(3x＋1)>0，
∴x<－或x>.
故原不等式的解集为{x|x<－或x>}．
(2)<0 ax(x＋1)<0.
当a>0时，ax(x＋1)<0 x(x＋1)<0 －1∴解集为{x|－1当a＝0时，原不等式的解集为 ；
当a<0时，ax(x＋1)<0 x(x＋1)>0 x>0或x<－1，∴解集为{x|x>0，或x<－1}．
10．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
[解析]　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
则方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2，
由a2－a＝a(a－1)可知，
(1)当a<0或a>1时，a2>a.
∴原不等式的解集为x>a2或x(2)当0∴原不等的解为x>a或x(3)当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0.
(4)当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1.
综上可知：
当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.
能力提升
一、选择题
1．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是(　　)
A．m＜－2或m＞2　
B．－2＜m＜2
C．m≠±2　
D．1＜m＜3
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝－x2＋mx－1有正值，
∴△＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.
2．若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是(　　)
A．x＞5a或x＜－a　
B．x＞－a或x＜5a
C．5a＜x＜－a　
D．－a＜x＜5a
[答案]　B
[解析]　化为：(x＋a)(x－5a)＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a
∵a＜0，∴x1＞x2.∴不等式解为x＜5a或x＞－a.
3．函数y＝的定义域为(　　)
A．[－4，1]　
B．[－4，0)
C．(0，1]　
D．[－4，0)∪(0，1]
[答案]　D
[解析]　要使函数有意义，则需，解得－4≤x≤1且x≠0，故定义域为[－4，0)∪(0，1]．
4．如果不等式<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(1，3)　
B．(－∞，3)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)　
D．(－∞，＋∞)
[答案]　A
[解析]　由4x2＋6x＋3＝(2x＋)2＋>0对一切x∈R恒成立，
从而原不等式等价于
2x2＋2mx＋m<4x2＋6x＋3(x∈R)
2x2＋(6－2m)x＋(3－m)>0对一切实数x恒成立
Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m－1)(m－3)<0，
解得1二、填空题
5．已知函数y＝(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是__________．
[答案]　1≤m<19
[解析]　①当m2＋4m－5＝0时，m＝－5或m＝1，
若m＝－5，则函数化为y＝24x＋3.对任意实数x不可能恒大于0.
若m＝1，则y＝3＞0恒成立．
②当m2＋4m－5≠0时，据题意应有，
，
∴，∴1＜m＜19.
综上可知，1≤m＜19.
6．不等式[(a－1)x＋1](x－1)＜0的解集为{x|x＜1或x＞2}，则a＝________.
[答案]　
[解析]　由题意x＝2是方程(a－1)x＋1＝0的根，
且a－1＜0，∴a＝.
三、解答题
7．解关于x的不等式：<0.
[解析]　原不等式 >0 (x＋3)(x＋2)(x－1)(x－3)>0.
令(x＋3)(x＋2)(x－1)(x－3)＝0，则有x1＝－3，x2＝－2，x3＝1，x4＝3.
如图．
由图可知，原不等式的解集为{x|x<－3或－23}．
8．当a为何值时，不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0的解集是R？
[解析]　由a2－1＝0，得a＝±1.
当a＝1时，原不等式化为－1<0恒成立，
∴当a＝1时，满足题意．
当a＝－1时，原不等式化为－2x－1<0，
∴x>－，∴当a＝－1时，不满足题意，故a≠－1.
当a≠±1时，由题意，得
，
解得－综上可知，实数a的取值范围是－