3.2 一元二次不等式及其解法 学案6（含答案）

3.2
一元二次不等式及其解法
学案
课时目标
1．会解简单的一元二次不等式．
2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．
知识梳理
1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b
(a≠0)的形式．
(1)若a>0，解集为；
(2)若a<0，解集为.
2．一元二次不等式
一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：
(1)ax2＋bx＋c>0
(a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0
(a>0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
(－∞，x1)∪(x2，＋∞)
{x|x∈R且x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1

作业设计
一、选择题
1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，
∴x≥或x≤－.
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(　　)
A．{x|x<－1或x>2}
B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－1D．{x|－1≤x≤2}
答案　D
解析　由题意知，－＝1，＝－2，
∴b＝－a，c＝－2a，
又∵a<0，∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.
3．函数y＝lg(x2－4)＋的定义域是(　　)
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
答案　B
解析　∵∴x≤－6或x>2.
4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．(0，2)
B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1，2)
答案　B
解析　∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，
∴x2＋x－2<0.∴－25．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2，2)
B．(－2，2]
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D．(－∞，2)
答案　B
解析　∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，
∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.
当m＝2时，4>0，x∈R；
当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，
解得－2综上所述，－26．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解是(　　)
A．(－3，1)∪(3，＋∞)
B．(－3，1)∪(2，＋∞)
C．(－1，1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1，3)
答案　A
解析　f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3所以f
(x)>f(1)的解是(－3，1)∪(3，＋∞)．
二、填空题
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应点如下表：
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是______________．
答案　{x|x<－2或x>3}
8．不等式－1答案　{x|－3≤x<－2或0解析　∵
∴－3≤x<－2或09．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．
答案　k≤2或k≥4
解析　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，
解得k≥4或k≤2.
10．不等式(x2－x＋1)(x2－x－1)>0的解集是________________．
答案　{x|x<或x>}
解析　∵x2－x＋1＝2＋>0，
∴(x2－x－1)(x2－x＋1)>0可转化为
解不等式x2－x－1>0，由求根公式知，
x1＝，x2＝.
∴x2－x－1>0的解集是
.
∴原不等式的解集为.
三、解答题
11．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．
解　由ax2＋bx＋c≥0的解集为，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，
∴，∴b＝－a，c＝－a.
所以不等式cx2－bx＋a<0可变形为
x2－x＋a<0，
即2ax2－5ax－3a>0.
又因为a<0，所以2x2－5x－3<0，
所以所求不等式的解集为.
12．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为
(x－a)(x－a2)>0.
∵a2－a＝a(a－1)．
∴当a<0或a>1时，aa2}．
当0a}．
当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．
综上知，当a<0或a>1时，不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0或1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．
13．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1
(i＝1，2，3)都成立的x的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　由(1－aix)2<1，
得1－2aix＋(aix)2<1，
即ai·x(aix－2)<0.
又a1>a2>a3>0.
∴0即x<，x<且x<.
∵>>>0
∴014．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
当a＝0时，x≤－1；
当a>0时，x≥或x≤－1；
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当a>0时，解集为；
当a＝0时，解集为；
当－2当a＝－2时，解集为；
当a<－2时，解集为.
反思感悟
1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．
2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．
3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．