3.3.2 简单的线性规划问题 同步练习2（含答案）

3.3.2
简单的线性规划问题
同步练习
1．设z＝x－y，式中变量x，y满足条件则z的最小值为(　　)
A．1　　　　　　　　　
B．0
C．－1
D．－2
解析　作出可行域，如图所示．
解方程组
得交点A(2，1)．
当直线x－y＝0平移过点A(2，1)时，z有最小值1.
答案　A
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．23
解析　不等式表示的平面区域如图所示．
当z＝2x＋3y过点A时取得最小值，联立方程组取得A(2，1)．将点A坐标代入z＝2x＋3y中得zmin＝7.
答案　B
3．设x，y满足则z＝x＋y(　　)
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值
解析　如图，z＝x＋y表示直线过可行域时，在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A点时，z有最小值．联立解得A(2，0)．
z最小值＝2，z无最大值．
答案　B
4．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、
B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是(　　)
A．12万元
B．20万元
C．25万元
D．27万元
解析　设该企业在一个生产周期内生产甲产品x吨，乙产品y吨，获得利润z万元，则依题意，有
目标函数z＝5x＋3y，画出不等式组表示的平面区域及直线l0：5x＋3y＝0，易知当平移l0经过点(3，4)时，z取得最大值为5×3＋3×4＝27，故选D.
答案　D
5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费用为200元，设备乙每天的租赁费用为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析　设租赁甲、乙两种设备x，y台，则
目标函数z＝200x＋300y，画出可行域知目标函数在点(4，5)处取得最小值，故目标函数的最小值为2300.
答案　2300
6．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.
货物
体积(m3/箱)
重量(50
kg/箱)
利润(百元/箱)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
解析　设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，则
目标函数z＝20x＋10y，画出可行域如图．
由得A(4，1)．
易知当直线2x＋y＝0平移经过点A时，z取得最大值．
答案　4，1
7．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2
m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3
m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)
解　设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意
钢板总面积z＝2x＋3y.作出可行域，如图所示．
由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．
由方程组得
所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．
8．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180
t支援物资的任务．该公司有8辆载重6
t的A型卡车与4辆载重为10
t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？
解　设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据．
A型车
B型车
限量
车辆数
x
y
10
运物吨数
24x
30y
180
费用
320x
504y
z
由表可知x，y满足的线性条件
且z＝320x＋504y.
作出线性区域，如图所示．可知当直线z＝320x＋504y过A(7.5，0)时，z最小，但A(7.5，0)不是整点，继续向上平移直线z＝320x＋504y，可知点(5，2)是最优解．这时zmin＝320×5＋504×2＝2608(元)，即用5辆A型车，2辆B型车，成本费最低．
若只用A型车，成本费为8×320＝2560(元)，
只用B型车，成本费为×504＝3024(元)．
9．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，问该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为多少？
解　设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，共可获利z万元，则z＝0.4x＋0.6y.
由题意知
作出可行域如图，
由图可以看出，当直线经过可行域上的点A(24，36)时，z取得最大值．
z＝0.4x＋0.6y＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.
即该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为31.2万元．