3.3.2 简单的线性规划问题 同步练习5（含答案）

3.3.2
简单的线性规划问题
同步练习
一、实际应用中的最优解问题
例1　某家具厂有方木料90
m3，五合板600
m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1
m3，五合板2
m2，生产每个书橱需要方木料0.2
m3，五合板1
m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
解
变式训练1　某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品　　　　吨，乙产品　　　吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．
二、实际应用中的最优整数解问题
例2　要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
分析　解决简单线性规划应用题的关键是：(1)找出线性约束条件和目标函数；(2)准确画出可行域；(3)利用几何意义，求出最优解．
解
变式训练2　某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件
则z＝10x＋10y的最大值是________．
3.3.2　简单的线性规划问题(特别训练)参考答案
例1　
解　由题意可画表格如下：
方木料(m3)
五合板(m2)
利润(元)
书桌(个)
0.1
2
80
书橱(个)
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，则 x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24
000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24
000元．
(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则 y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54
000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54
000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，
则
z＝80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．
作直线l：80x+120y=0，即直线l：2x+3y=0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z=80x+120y取得最大值．
由解得点M的坐标为(100，400)．
所以当x=100，y=400时，
zmax=80×100+120×400=56
000(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．
变式训练1答案　20　24
解析　
设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，
依题意约束条件为：
目标函数为S=7x+12y
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．
解方程组
得A(20，24)，故当x＝20，y＝24时，Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)
例2　
解　设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
作出可行域(如图)：(阴影部分)
目标函数为z=x+y
作出一组平行直线x+y=t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A
，直线方程为x+y=.由于和都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12，经过的整点是B(3，9)和C(4，8)，它们都是最优解．
答　要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．
变式训练2　
答案　90
解析　
该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x，y∈N
，计算区域内与点
最近的整点为(5，4)，当x=5，y=4时，z取得最大值为90.