3.1
不等关系与不等式
同步练习
1．下列结论正确的是( )
A．若x≥10，则x>10
B．若x2>25，则x>5
C．若x>y，则x2>y2
D．若x2>y2，则|x|>|y|
答案 D
2．若a>b，ab≠0，则下列不等式恒成立的( )
A.<
B.<1
C．2a>2b
D．lg(b－a)<0
答案 C
3．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )
A．a>b
B．a
C．a≥b
D．a≤b
解析 a－b＝(3x2－x＋1)－
(2x2＋x)
＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
∴a≥b.
答案 C
4．若x>1，则下列不等式中恒成立的是( )
A.x－1>1
B．log(x－1)≥0
C．logπ(x－1)≥0
D．2x－1>1
解析 由指数函数的性质，知x>1时，
2x－1>1.
答案 D
5．如果a<0，b>0，则下列不等式成立的是( )
A.<
B.<
C．
a2D．|a|>|b|
答案 A
6．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总重量T应满足关系为( )
A．T<40
B．T>40
C．T≤40
D．T≥40
答案 C
7．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m．用不等式表示为( )
A．v≤120
km/h或d≥10
m
B.
C．v≤120
km/h
D．d≥10
m
解析 考虑实际意义，知v≤120(km/h)，且d≥10(m)．
答案 B
8．一个两位数个位数字是a，十位数字是b，且这个两位数不小于60，则可用不等关系表示为________．
答案 60≤10b＋a≤99
9．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．
解析 ∵a>b，∴(c－2a)－(c－2b)＝2(b－a)<0，∴c－2a答案 c－2b
10．若－10解析 ∵－10∴－10<|a|＋b<18.
答案 (－10，18)
11．已知a，b，c这三个实数中至少有一个不等于1，试比较a2＋b2＋c2与2a＋2b＋2c－3的大小．
解 a2＋b2＋c2－(2a＋2b＋2c－3)
＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2.
∵a，b，c这三个数中至少有一个不等于1，
∴a－1，b－1，c－1中至少有一个不为0.
∴(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2>0.
∴a2＋b2＋c2>2a＋2b＋2c－3.
12．设a>0，a≠1，t>0，比较logat与loga的大小，并证明你的结论．
解 －＝＝.
∵t>0，∴≥0.
∴≥.
∵a>0，且a≠1，∴结论如下：
(1)当a>1时，loga≥logat；
(2)当0不等关系与不等式
同步练习
1.设a＋b<0，且a>0，则( )
A．a2<－abB．b2<－abC．a2D．ab2．已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2＞a＞－a2＞－a
B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2
D．a2＞－a＞a＞－a2
3．如果a＞0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga
(a2＋1)，那么( )
A．M＞N
B．M＜N
C．M＝N
D．M、N的大小无法确定
4．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )
A.>
B．a＋>b＋
C．a＋>b＋
D.>
5．若＜＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；
③a＜b；④＋＞2.其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6下列结论中正确的是( )
A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若a>b，c>d，则a－c>b－d
D．若a>b，c>d，则>
7．若－<α<β<，则α－β的取值范围是___________.
8．已知函数f(x)＝x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，
x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值______0.(比较大小)
9．实数a、b、c、d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d请将a、b、c、d按照从大到小的次序排列，并证明你的结论．
10．已知a、b、c满足：a、b、c∈R＋，a2＋b2＝c2，当n∈N，
n>2时，比较cn与an＋bn的大小．
3.1
详解答案
1.[答案] A[解析] ∵a＋b<0，且a>0，∴0∴a2<－ab2.[答案] B[解析] ∵a2＋a<0，∴0－a2>a，
∴a<－a2[点评] 可取特值检验，∵a2＋a<0，即a(a＋1)<0，令a＝－，则a2＝，－a2＝－，－a＝，∴>>－>－，即－a>a2>－a2>a，排除A、C、D，选B.
3.[答案] A
[解析] M－N＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga，若a>1，则a3>a2，∴>1，∴loga>0，∴M>N，若00，∴M>N，故选A.
4.[答案] C
[解析] 解法1：由a>b>0 0<< a＋>b＋，故选C.
解法2：(特值法)令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝，b＝，排除B.
5.[答案] B
[解析] ∵＜＜0，∴a＜0，b＜0，a＞b，故③错；
∴ab＞0，∴a＋b<0又0＞a＞b，∴|a|＜|b|.∴②错；
∵＋＝＝＝＋2
且a－b＜0，ab＞0，∴＋＞2，∴④成立．
∴①④正确．选B.
6.[答案] A
[解析] 由不等式的性质知A正确．
[点评] 要注意不等式性质中条件的把握．
7.[答案]
－π<α－β<0.
[解析] ∵－<β<，∴－<－β<，
又－<α<，∴－π<α－β<π，
又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.
8.[答案]
f(x1)＋f(x2)＋f(x3)
<0.
[解析] ∵f(x)＝x3是单调递增函数，x1<－x2，x2<－x3，x3<－x1，∴f(x1)又∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)<－f(x2)，f(x2)<－f(x3)，f(x3)<－f(x1)，
∴f(x1)＋f(x2)<0，f(x2)＋f(x3)<0，f(x3)＋f(x1)<0
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
9.[解析]
由①式得b>d>c>a.
10.[解析] ∵a、b、c∈R＋，∴an、bn、cn>0.
而＝n＋n.
∵a2＋b2＝c2，∴0<<1，0<<1.
∵n∈N，n>2，∴n<2，n<2，
∴＝n＋n<＝1，∴an＋bn不等关系与不等式
同步练习
1.已知a<0，－1A．a>ab>ab2
B．ab>a>ab2
C．ab2>ab>a
D．ab>ab2>a
2．如果a、b、c满足cA．ab>ac
B．bc>ac
C．cb2D．ac(a－c)<0
3．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系为( )
A．a＞b＞－b＞－a
B．a＞－b＞－a＞b
C．a＞－b＞b＞－a
D．a＞b＞－a＞－b
4．设x＜a＜0，则下列各不等式一定成立的是( )
A．x2＜ax＜a2
B．x2＞ax＞a2
C．x2＜a2＜ax
D．x2＞a2＞ax
5．若a，b是任意实数，且a＞b，则( )
A．a2＞b2
B.＜1
C．lg(a－b)＞0
D．()a＜()b
6．已知－1A．AB．BC．AD．B7．若a＞b，则a3与b3的大小关系是________．
8.若d>0，d≠1，m，n∈N
，则1＋dm＋n与dm＋dn的大小关系是_____________.
9．如果30＜x＜42，16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及的取值范围．
10．设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．
3.1
详解答案
1.[答案] D[解析] ∵－1b2>0>b>－1，
即bab2>a.故选D.
2.[答案] C[解析] ∵c0，c<0.
∴ab－ac＝a(b－c)>0，bc－ac＝
(b－a)c>0，ac(a－c)<0，
∴A、B、D均正确．
∵b可能等于0，也可能不等于0.
∴cb23.[答案] C
[解析] a＞－b＞0 －a＜b＜0.∴选C.
[点评] 可取特值检验．
∵a＋b>0，b<0，∴可取a＝2，b＝－1，∴－a＝－2，－b＝1，∴－a4.[答案] B
[解析] x2＞ax＞a2∴选B.
5.[答案] D
[解析] 举反例，A中2＞－5但22＜(－5)2；B
中－2＞－5但＞1；C中a＝5，b＝4时，lg(a－b)＝0，故选D.
6.[答案] B
[解析] 不妨设a＝－，则A＝，B＝，C＝2，由此得B[点评] 具体比较过程如下：
由－10，
A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>B，
C－A＝－(1＋a2)＝－
＝－>0，得C>A，∴B7.[答案] a3＞b3
8.[答案]
1＋dm＋n>dm＋dn
(1＋dm＋n)－(dm＋dn)＝(1－dm)(1－dn)，
若d>1，∵m、n∈N
，∴dm>1，dn>1，∴(1－dm)·(1－dn)>0，
若0，0∴(1－dm)(1－dn)>0，1＋dm＋n>dm＋dn
9.[解析] 46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32；
∴－18＜x－2y＜10；
∵3010.[解析] 根据同底数幂的运算法则．
＝aa－b·bb－a＝()a－b，
当a>b>0时，>1，a－b>0，
则()a－b>1，于是aabb>abba.
当b>a>0时，0<<1，a－b<0，
则()a－b>1，于是aabb>abba.
综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.
[点评] 实数大小的比较问题，除利用a－b>0 a>b外，还常常利用不等式的基本性质或“>1，且b>0 a>b”来解决，比较法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的判断．