课件28张PPT。3.2 一元二次不等式及其解法第一课时/一元二次不等式及其解法新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领 思维激活实例:给出下列不等式:
①x2-3x+2>0;②x2+4x-5≤0;③2x2+x+5≤0;
④x2-4x+4>0;⑤4x2+3>0;⑥x2+6x+9>0.想一想 实例中的6个不等式,它们含有几个未知数?未知数的最高次数是多少?
(它们只含有一个未知数,未知数的最高次数都
是2)知识探究——自主梳理 思考辨析1.一元二次不等式
只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,叫做一元二次不等式.
2.二次函数,一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
见附表一个2题型探究——典例剖析 举一反三题型一 一元二次不等式的概念
【例1】 判断下列不等式中哪些是一元二次不等式?
①x2>0;②-x2-x<1;③2x2-4y+1≥0;④ <0;⑤(x+3)(2x-1)≤0;⑥(k2+1)x2-2x-k>0(k∈R).解:不等式①②⑤⑥中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2,且最高次项系数不为0,它们都是一元二次不等式;不等式③中含有两个未知数,不是一元二次不等式;不等式④中含有分式,是分式不等式,不是一元二次不等式.题后反思 一元二次不等式的特点:①含一个未知数,②未知数的最高次数是2,③最高次项系数不为0.跟踪训练1-1:判断下列不等式是否是一元二次不等式?
(1)x2+ax-3>0;
(2)-5x2-6x+3≤0;
(3)ax2+3x-2≥0;
(4)3x3+2x-1<0.
解: (1)(2)一定是一元二次不等式;(3)中,当a≠0时是一元二次不等式,当a=0时,不是一元二次不等式;(4)不是一元二次不等式.题型二 一元二次不等式的解法
【例2】 解下列不等式:
①-2x2+x-6<0;
②-x2+6x-9≥0;
③x(7-x)>0;
④13-9x2<0.
解:①原不等式可化为
2x2-x+6>0,
∵方程2x2-x+6=0的判别式
Δ=(-1)2-4×2×6<0,
∴函数y=2x2 -x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图).∴观察图象可得,不等式的解集为R.②原不等式可化为x2-6x+9≤0,
即(x-3)2≤0,
∴原不等式的解集为{x|x=3}.
③原不等式可化为x(x-7)<0,
方程x(x-7)=0的两根是x1=0,
x2=7,
函数y=x(x-7)的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(0,0),(7,0)(如图).观察图象可得,
原不等式解集为{x|0
(2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
草图.
(5)根据图象写出不等式的解集跟踪训练2-1: (1)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根, 则实数m的取值范围是( )
(A)(-1,1)
(B)(-2,2)
(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)
(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)不等式x2-5x+6≤0的解集为 .?
解析: (1)由题意知Δ=m2-4>0,
∴m<-2或m>2.故选C.
(2)x2-5x+6≤0,即(x-2)(x-3)≤0.故2≤x≤3.
答案: (1)C (2){x|2≤x≤3}解析:(1)法一 将x=0代入验证可排除选项A、B、D.故选C.备选例题【例题】已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-11.解一元二次不等式可按照“一看,二算,三写”的步骤完成,但应注意,当二次项系数为负数时,一般先化为正数再求解,一元二次不等式的解集是一个集合,要写成集合的形式.
2.解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二次方程以及二次函数的图象.一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标,对应不等式的解集,就是使函数图象在x轴上方或下方的部分所对应的x的集合,而方程的根就是不等式解集区间的端点.课件24张PPT。3.2 一元二次不等式及其解法题型探究达标检测题型探究——典例剖析 举一反三题型一 已知不等式的解集求参数的值
【例1】 若不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|1(1)试求a、b的值;名师导引: (1)由不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|1(2)怎样求得a与b的值?(利用根与系数的关系)题后反思 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1,x2时,二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)的解集区间的端点为x1,x2.当已知ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)的解集时,也就知道了ax2+bx+c=0的根,求参数时一般需把根代入方程或利用根与系数的关系(韦达定理)得出.题型二 一元二次不等式恒成立问题
【例2】 若关于x的一元二次不等式2x2-8x+6-m>0对任意的x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
解:法一 要使2x2-8x+6-m>0恒成立,就是使不等式2x2-8x+6-m>0的解集为R,
∵a=2>0,∴只需Δ=64-8(6-m)<0,
∴m<-2.
故m的取值范围是m<-2.
法二 不等式2x2-8x+6-m>0对任意的x∈R恒成立,则只需m<2x2-8x+6对任意的x∈R恒成立.
记g(x)=2x2-8x+6,
∵g(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2.
∴g(x)=2x2-8x+6在x∈R上的最小值为-2,
∴m<-2.(2)分离参数,将恒成立问题转化为求最值问题,即:
k≥f(x)(k>f(x))恒成立?k≥f(x)max(k>f(x)max);
k≤f(x)(k解:①若a=0,不等式化为-x-2≤0不能对x∈R恒成立;
②若a≠0,则有a<0时,应有Δ≤0,题型三 含参数不等式的解法
【例3】 解关于x的不等式x2-2ax-8a2<0.
解:不等式x2-2ax-8a2<0可化为(x+2a)(x-4a)<0,
①当-2a=4a,即a=0时,不等式即为x2<0,解集为 ,②当-2a>4a,即a<0时,则4a③当-2a<4a,即a>0时,则-2a综上所述:当a=0时,原不等式的解集为 ,当a<0时,原不等式的解集为{x|4a当a>0时,原不等式的解集为{x|-2a解:方程x2+(1-a)x-a=0的解集为x1=-1,x2=a,
函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,则
当a<-1时,原不等式的解集为{x|a当a=-1时,原不等式的解集为 ,当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1解:法一 设方程x2+2mx-m+12=0的两根为x1,x2.达标检测——反馈矫正 及时总结D 2.要使关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小,则a的取值范围是( )
(A)-11
(C)-21
解析:设f(x)=x2+(a2-1)x+a-2
由题意得f(1)=12+a2-1+a-2<0,
∴a2+a-2<0,
(a+2)(a-1)<0,
-20的解集是{x|3(x-a)?(x+a)<1对任意x都成立,则a的范围是 .?
解析: (x-a)?(x+a)<1,
(1-x+a)(1+x+a)-1<0,
(1+a+x)(1+a-x)-1<0,
(1+a)2-x2-1<0,
x2>a2+2a,
∴a2+2a≤0,
∴-2≤a≤0.
答案: {a|-2≤a≤0}课堂小结
1.解决不等式恒成立问题关键是等价转化思想的应用,同时要结合二次函数的图象来求解.
2.解不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0时要注意对参数分类讨论,讨论一般分为三个层次,第一个层次是二次项系数为零和不为零;第二个层次是有没有实数根的讨论,即判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0;第三个层次是根的大小的讨论.