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菱形的性质和判定
【义务教育教科书北师版九年级上册】
学校：________
教师：________
复习导入：
1.___________________的平行四边形叫做菱形;
2.菱形的四条边__________菱形的对角线___________
邻边相等
相等
互相垂直
用一长一短的细木条，在它们的中点固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根皮筋，如图（1），做成一个四边形，转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
探究一：
解析;当两个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是菱形
探究一：
答：两条对角线互相垂直的平行四边形得到的是菱形.
做两条互相垂直的直线a、b，垂足为O，在直线a上截取OA=OB,在直线b上截取OC=OD,你得到的是平行四边形吗？是菱形吗？
探究总结：
通过上面的活动，我们可以发现：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
已知:如图,在 ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形
结论论证：
证明:∵四边形ABCD是平行四边形;
∴AO=CO,
∵AC⊥BD,
∴BD是AC的垂直平分线
∴BA=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义）
已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE∥FC．
∴ ∠1=∠2．
又 ∠ AOE=∠COF，AO=CO，
∴ △AOE≌△COF．
∴ EO=FO．
∴ 四边形AFCE是平行四边形．
又 EF⊥AC，
∴ AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
巩固练习：
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，想一想，作图中，满足的条件是什么 猜一猜，这是什么四边形？
探究二
解析：作图过程中，满足的条件是四条边相等.
得到的四边形是菱形
根据画图，你能得到判定一个四边形是菱形的方法吗？
探究总结：
结论：四条边相等的四边形是菱形
结论证明：
已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB=BC=CD=DA,
∴AB=CD,BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
做一做：
结论：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
巩固练习：
如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是菱形
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD,AD=BC,∠A＝∠B＝∠C＝∠D=90°
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴AE=BE=CG=DG,AH=DH=BF=CF
∴△AEH≌△BEF≌△FCG≌△DHG
∴EH=EF=FG=GH
∴四边形EFGH是菱形
已知;如图，在平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，AB= , A O=2OB=1.
求证:平行四边形ABCD是菱形.
证明：在△AOB中，
∴AB= A O=2，OB=1
∴
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形.
典例探究一：
典例探究二：
已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形．
证明∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AE∥FC
∴∠1＝∠2
∵EF平分AC
∴AO＝OC
又∵∠AOE＝∠COF＝90°
∴ △AOE≌△COF
∴ EO＝FO
∴ 四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形
尝试应用
1.判断题，对的画“√”错的画“×”
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
2. 用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A.等腰梯形 B.正方形 C.矩形 D.菱形；
3.下列说法中正确的是（ ）
A、有两边相等的平行四边形是菱形
B、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形
D、四个角相等的四边形是菱形
×
√
D
B
尝试应用
4. 用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5.下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
B
AC⊥BD ∠BAD＝900 AB=BC AC=BD
A. B. C. D.
A
1.①有一组邻边________的平行四边形是菱形；
②对角线____________的平行四边形是菱形；
③四边__________________的四边形是菱形．
达标测评：
2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）．
A. AC⊥BD ，AC与BD互相平分
B. AB=BC=CD=DA
C. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
D. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
相等
互相垂直
相等
C
达标测评：
3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，边BC，CA，AB的中点分别是点D，E，F，则四边形AFDE是( )
A．菱形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形
4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
A
A
5.已知:如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,与BC相交于点E,EF//AB,与AD相交于点F.
求证:四边形ABEF是菱形.
达标测评：
证明：∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
因为四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC ∴∠DAE=∠AEB ∴∠BAE=∠DAF∴AB=BE
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC∵EF//AB
∴ABEF为平行四边形
又∵AB=BE ∴是菱形
拓展提升：
如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，连接AD．
求证：四边形AFCD是菱形．
拓展提升：
∴四边形AFCD是菱形．
证明：Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到，
∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，∴AD=DC=AC，
又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到，
∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°，
∵∠ACB=∠ACD=60°，∴△AFC是等边三角形，
∴AF=FC=AC，∴AD=DC=FC=AF
体验收获
菱形的判定方法：
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
定理1:四条边都相等的四边形是菱形.
定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.。
七、布置作业
教材P7 习题1.2 1、2、3登陆21世纪教育 助您教考全无忧
1.1菱形的性质和判定（2）
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题
1.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）21世纪教育网
Ａ.等腰梯形 Ｂ.正方形 Ｃ.矩形 Ｄ.菱形
2.如图，在 ABCD中，AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件后，仍无法判断四边形AECF是菱形的为( )21cnjy.com
AE=AF B. EF⊥AC C. ∠B=600 D.AC 是∠EAF的平分线
3.如图菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点D作DH⊥AB,垂足为H，则DH等于（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A. 5 B. C. D.
4.已知，如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（ ）2·1·c·n·j·y
A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形
5.能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直平分
C．两条对角线相等且垂直 D．两条对角线互相垂直
二、填空题
6.已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是______________．【出处：21教育名师】
7.菱形的面积等于其对角线长的乘积的________
如图，已知△ABC,AB=AC,将它沿着BC翻折得到 ,则四边形是__________
9.如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5 ，AC=8，DB=6
则四边形ABCD是____________.
三、简答题
10.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
求证：四边形AECD是菱形；
11.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
12.Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于E，垂足为F，连接CD、BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
参考答案
选择题
D
【解析】得到的四边形的四条边相等，即是菱形．所以答案选D
C
【解析】根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAE=∠DCF，证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，BE=DF，求出AF=CE，得出四边形AECF是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．所以答案选C21世纪教育网版权所有
C
【解析】菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分.可以得到：OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD,在△OAB中，根据三角形的面积公式，即可求出OH的值：.
所以答案选C
B
【解析】∵E是AB的中点,H是BD的中点
∴EH是△ABD的中位线
∴EH=AD
同理：
FG是△ACD的中位线,EG是△ABC的中位线,FH是△BCD的中位线
∴FG=AD,EG=BC,FH=BC
∵AD=BC
∴EH=EG=FG=FH
∴四边形EGFH是菱形故选：B．21·cn·jy·com
5.B.
【解析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有B能判定为是菱形，
故选：B．www.21-cn-jy.com
二、填空题
6.AD=DC
【解析】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；
故答案为：AD=DC．
7.21教育网
【解析】菱形的面积等于其对角线长的乘积的
8.菱形
【解析】已知AB=AC,将它沿着BC翻折后得到四条边都相等，因此这个四边形是菱形.
9. 菱形
【解析】证明：
∵平行四边形ABCD
∴AC、BD互相平分
∵AB＝5,OA＝4,OB＝3
∴OA +OB ＝AB ＝25
∴∠AOB＝900
∴AO⊥BO
∴AC、BD互相垂直平分
∴菱形ABCD【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
10.证明：∵AB∥CD，即AE∥CD， 又∵CE∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，
∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD，
∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，
∴四边形AECD是菱形；21·世纪*教育网
11.证明：四边形AECF是菱形．
证明：由折叠可知：AE=EC，∠AEF=∠CEF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CEF =∠AFE，www-2-1-cnjy-com
∴∠AEF =∠AFE，∴AF=AE，
∵AE=EC，∴AF=EC，
又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF=AE，∴平行四边形AECF是菱形．2-1-c-n-j-y
12.(1)证明：∵直线m∥AB，∴∠ECD=∠ADC，
又∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，
∴∠EDC=∠ACD，CD为公共边，∴△EDC≌△ACD，∴CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是菱形．
证明：D是AB中点，由(1)知DE∥AC，∴F为BC中点，即BF=CF，
∵直线m∥AB，∴∠ECF=∠DBF，∠BFD=∠CFE，∴△BFD≌△CFE，
∴DF=EF，已知DE⊥BC，∴BC和DE垂直且互相平分，
故四边形BECD是菱形． 21*cnjy*com
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课题： 1.1菱形的性质与判定（2）
教学目标：
知识与技能目标：
探索并掌握菱形的判定方法，并能综合运用，形成解决问题的能力.
二、过程与方法目标：
经历菱形的判定方法的探索过程，在活动中发展合情推理意识和主动探究的习惯，初步掌握说理的基本方法，发展有条理表达的能力. 21*cnjy*com
三、情感态度与价值观目标：
在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
重点：理解并掌握菱形的判定方法；会用判定方法进行有关的论证和计算.
难点：理解并掌握菱形的判定方法；会用判定方法进行有关的论证和计算.
教学流程：
复习导入：
1.___________________的平行四边形叫做菱形;
2.菱形的四条边__________菱形的对角线___________
二、新知探究
定义是判定菱形最好的办法，除此之外，我们还有其他的方法吗？
探究一：
用一长一短的细木条，在它们的中点固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根皮筋，如图（1），做成一个四边形，转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
做两条互相垂直的直线a、b，垂足为O，在直线a上截取OA=OB,在直线b上截取OC=OD,你得到的是平行四边形吗？是菱形吗？21教育网
探究总结：
通过上面的活动，我们可以发现：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
我们再利用证明的办法来证明这个结论：
已知:如图,在ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AO=CO.
∵AC⊥BD,
∴BD是AC的垂直平分线
∴BA=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义）
巩固练习：
已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
探究二
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，想一想，作图中，满足的条件是什么 猜一猜，这是什么四边形？21·cn·jy·com
根据画图，你能得到判定一个四边形是菱形的方法吗？
探究总结：
有四条边相等的四边形是菱形。
我们来证明它：
已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB=BC=CD=DA,
∴AB=CD,BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
做一做：如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
探究总结：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
巩固练习1：
如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是菱形2·1·c·n·j·y
巩固练习2：
已知;如图，在平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，AB= , A O=2OB=1.
求证:平行四边形ABCD是菱形.
三、典例探究：
已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形．
证明∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AE∥FC
∴∠1＝∠2
∵EF平分AC
∴AO＝OC
又∵∠AOE＝∠COF＝90°
∴△AOE≌△COF
∴ EO＝FO
∴ 四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形
尝试应用
1.判断题，对的画“√”错的画“×”
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
2. 用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A.等腰梯形 B.正方形 C.矩形 D.菱形
3.下列说法中正确的是（ ）
A、有两边相等的平行四边形是菱形
B、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形
D、四个角相等的四边形是菱形
4. 用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )www.21-cn-jy.com
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5. 5.下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
AC⊥BD ∠BAD＝900 AB=BC AC=BD
A. B. C. D.
达标测评
①有一组邻边________的平行四边形是菱形；②对角线____________的平行四边形是菱形；③四边________的四边形是菱形．【来源：21·世纪·教育·网】
2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）．
A. AC⊥BD ，AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA
C. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD D. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，边BC，CA，AB的中点分别是点D，E，F，则四边形AFDE是( )21·世纪*教育网
A．菱形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形
4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )www-2-1-cnjy-com
A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
5.已知:如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,与BC相交于点E,EF//AB,与AD相交于点F.21世纪教育网版权所有
求证:四边形ABEF是菱形.
拓展提升
如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，连接AD．
求证：四边形AFCD是菱形．
证明：Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到，
∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°，21cnjy.com
∴△ACD是等边三角形，∴AD=DC=AC，
又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到，
∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°，
∵∠ACB=∠ACD=60°，∴△AFC是等边三角形，
∴AF=FC=AC，∴AD=DC=FC=AF，
∴四边形AFCD是菱形．2-1-c-n-j-y
体验收获
菱形的判定方法：
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
定理1:四条边都相等的四边形是菱形.
定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
布置作业
教材P7 习题1.2 1、2、3
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