登陆21世纪教育 助您教考全无忧
课题：2．2 用配方法求解一元二次方程
教学目标：
一、知识与技能目标：
经历配方法解一元二次方程的过程，获得解二元一次方程的基本技能。
二、过程与方法目标：
经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力。21·世纪*教育网
三、情感态度与价值观目标：
体会转化的数学思想方法，能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性。
重点：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。
难点：能利用一元二次方程解决有关的实际问题。
教学流程：
导入新课
1、复习回顾
根据题意列出下各题方程的，观察方程特点，并解方程：
(1)如果一个数的平方等于4 ，则这个数是多少，设这个数为x，根据题列方程.
(2)如果一个正方形的边长增加3cm后，它的面积变为64 CM2 ，则原来的正方形的边长为多少？若变化后的面积为48CM2 呢？ 21·cn·jy·com
2、情境引入
上节课，我们研究梯子底端滑动的距离x(m) 满足方程 ,你能仿照上面几个方程的解题过程,求出x的精确解吗 你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里 （合作交流）【来源：21·世纪·教育·网】
设计目的：利用实际问题，让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。www-2-1-cnjy-com
新课讲解
1：做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方）
填上适当的数，使下列等式成立。（选4个学生口答）
问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如的式子如何
配成完全平方式？（小组合作交流）
设计目的：配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。2-1-c-n-j-y
2、解决例题
（1）解方程：x2+8x-9=0.（师生共同解决）
解:可以把常数项移到方程的右边，得x2+8x＝9
两边都加上（一次项系数8的一半的平方），得x2+8x＋42=9＋42.
（x+4）2=25
开平方，得 x+4=±5,即 x+4=5,或x+4=-5.
所以x1=1, x2=-9.
例2：解方程：３x2+8x－3=0
分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。
解：两边都除以3，得：
移项，得：
配方，得： （方程两边都加上一次项系数一半的平方）
即： 所以:
练一练
解下列方程：
（1）4x2-6x-3=0； （2） 3x2+6x-9=0.
3、用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)把二次项系数化为1；
(2)移项：方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
(3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
(4)用直接开平方法求出方程的根。
(5)求解:解一元一次方程;
(6)定解:写出原方程的解.
例3:一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=15t―5t2 ,小球何时能达到10m高？21cnjy.com
【解析】根据题意得 15t-5t2=10
方程两边都除以-5，得t2-3t=-2
配方，得
即
∴
请你描述一下，刚才的实际问题中t有两个值，它们所在时刻小球的运动状态.
课堂练习 (举一反三 )
如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少？21教育网
探究理解
用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？（小组合作交流）
活动目的：通过对例1和例2的讲解，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成 形式，同时通过例2提醒学生注意：有的方程虽然有两个不同的解，但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性，对结果进行取舍。由于此问题在情境引入时出现过，因此也达到前后呼应的目的。最后由问题“用这种方法解一元二次方程的思路是什么？”引出配方法的定义。www.21-cn-jy.com
四、课堂练习
解下列方程
（1） (2)
设计目的：对本节知识进行巩固练习。
课堂小结
教师总结：
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边;
2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
3.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
5.求解:解一元一次方程;
6.定解:写出原方程的解.
学生总结：
1、结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）？
2、本节课你的困惑（不明白或还需进一步理解的地方）？
六、拓展提升
如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,在使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应是多少？2·1·c·n·j·y
（先独立思考，再小组合作交流）
设计目的：在前两个例题的基础上，通过例3进一步提高学生分析问题解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫。
达标测评
1.填上适当的数,使下面各等式成立：
(1)x2+3x+_______=(x+________)2； (2)_______-3x+ =(3x_______)2；
(3)4x2+_____+9=(2x________)2； (4)x2-px+_______=(x-_______)2；
(5)x2+x+_______=(x+_______)2.
2.方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )21世纪教育网
A.(x-6)2=41 B.(x-3)2=4; C.(x-3)2=14 D.(x-6)2=36
3.用配方法解下列方程:
(1)x2+4x-3=0; (2)x2+3x-2=0;21世纪教育网版权所有
八、布置作业
课本37页习题2.3 1题、2题。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 5 页 （共 5 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《用配方法求解一元二次方程》练习
一、基础过关
1．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=7 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=19
2．用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（ ）
A．（x﹣2）2=3 B．2（x﹣2）2=3 C．2（x﹣1）2=1 D．
3．用配方法解方程3x2+8x﹣3=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+）2=1+（）2 B．（x+）2=1+（）2
C．（x﹣）2=1+（）2 D．（x﹣）2=1﹣（）2
4．若方程25x2﹣（k﹣1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（ ）
A．﹣9或11 B．﹣7或8 C．﹣8或9 D．﹣6或7
5．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2﹣12x+14的值的范围．
解：2x2﹣12x+14=2（x2﹣6x）+14=2（x2﹣6x+32﹣32）+14
=2[（x﹣3）2﹣9]+14=2（x﹣3）2﹣18+14=2（x﹣3）2﹣4．
∵无论x取何实数，总有（x﹣3）2≥0，∴2（x﹣3）2﹣4≥﹣4．
即无论x取何实数，2x2﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数．
问题：已知x可取任何实数，则二次三项式﹣3x2+12x﹣11的最值情况是（ ）
A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最小值1
6．若一元二次方程9x2﹣12x﹣39996=0的两根为a，b，且a＜b，则a+3b的值为（ ）
A．136 B．268 C． D．
二、综合训练
7．将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab= ．
8．将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为 ．
9．将一元二次方程x2+4x+1=0化成（x+a）2=b的形式，其中a，b是常数，则a+b= ．
10．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x= ．21cnjy.com
11．配方：ax2+bx+c=（2ax+b）2+m，则m= ．
12．若代数式x2+9的值与﹣6x的值相等，则x的值为 ．
三、拓展应用
13．王洪同学在解方程x2﹣2x﹣1=0时，他是这样做的：
解：方程x2﹣2x﹣1=0变形为x2﹣2x=1．…第一步x（x﹣2）=1．…第二步x=1或x﹣2=1．…第三步∴x1=1，x2=3．…第四步21·cn·jy·com
王洪的解法从第 步开始出现错误．请你选择适当方法，正确解此方程．
14．关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得x2+4x+9=（x+m）2+n
（1）则m= ，n= ；
（2）求x为何值时，此二次三项式的值为7？
15．解下列各题：
（1）当a=1+，b=时，求代数式a2+b2﹣2a+1的值；
（2）用配方法解方程：x2+12x=﹣9．
16．已知a、b是实数，且+|b﹣|=0，解关于x的方程：（a+2）x2+b2=（a﹣1）x．
17．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”www.21-cn-jy.com
（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
参考答案
一、基础过关
1．B
解：x2+4x=3， x2+4x+4=7， （x+2）2=7．
故选．B
2．C
解：x2﹣2x=﹣， x2﹣2x+1=﹣+1，所以（x﹣1）2=．
故选C．
3．B
解：∵3x2+8x﹣3=0， ∴3x2+8x=3， ∴x2+x=1，
∴x2+x+=1+， ∴（x+）2=，
故选：B．
4．A
解：根据题意知，
﹣（k﹣1）=±2×5×1，
∴k﹣1=±10，即k﹣1=10或k﹣1=﹣10，
得k=11或k=﹣9．
故选A．
5．C
解：﹣3x2+12x﹣11=﹣3（x2﹣4x）﹣11
=﹣3（x2﹣4x+4﹣4）﹣11
=﹣3（x﹣2）2+12﹣11
=﹣3（x﹣2）2+1，
∵无论x取何实数，总有（x﹣2）2≥0，
∴﹣3（x﹣2）2≤0，
∴﹣3（x﹣2）2+1≤1，
即无论x取何实数，二次三项式﹣3x2+12x﹣11有最大值1，
故选：C．
6．A
解：∵9x2﹣12x﹣39996=0，
∴9（x﹣）2=40000，
∴x1=，x2=﹣66，
∵一元二次方程9x2﹣12x﹣39996=0的两根为a，b，且a＜b，
∴a=﹣66，b=，
a+3b=﹣66+202=136．
故选A．
二、综合训练
7．答案为：12
解：x2﹣6x+5=0， x2﹣6x=﹣5，
x2﹣6x+9=﹣5+9， （x﹣3）2=4，
所以a=3，b=4， ab=12，
故答案为：12．
8．答案为﹣5．
解：∵x2+6x+4=（x+3）2﹣5，
∴当x=﹣3时，多项式x2+6x+4取得最小值﹣5；
故答案为﹣5．
9．答案为：5
解：方程x2+4x+1=0，移项得：x2+4x=﹣1，
配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3，∴a=2，b=3，则a+b=5，
故答案为：5
10．答案为﹣2．
解：根据题意得x2﹣2 （﹣2x）+3=﹣1，
整理得x2+4x+4=0， （x+2）2=0， 所以x1=x2=﹣2．
故答案为﹣2．
11．答案为：．
解：ax2+bx+c=（4a2x2+4abx+4ac）
=[（2ax）2+2 （2a） b x+b2﹣b2+4ac] =[（2ax+b）2+4ac﹣b2] =（2ax+b）2+，∴m=，21世纪教育网版权所有
故答案为：．
12．答案为﹣3．
解：根据题意得x2+9=﹣6x，整理得x2+6x+9=0， （x+3）2=0，
所以x1=x2=﹣3． 故答案为﹣3．
三、拓展应用
13．答案为二．
解：王洪的解法从第 二 步开始出现错误，
正确解此方程：
x2﹣2x+1=1+1， （x﹣1）2=2，
x﹣1=±， x1=1+，x2=1﹣；
故答案为二．
14．（1）答案为：2，5；（2）二次三项式的值为7．
解：（1）x2+4x+9=x2+4x+4+5=（x+2）2+5，
∵x2+4x+9=（x+m）2+n，∴m=2，n=5，
故答案为：2，5；
（2）根据题意得：x2+4x+9=7， （x+2）2=7﹣5， x+2=， x=﹣2±
即当x=﹣2，此二次三项式的值为7．
15．（1）5； （2）x1=﹣6﹣3，x2=﹣6+3．
解：（1）∵a=1+，b=，
∴原式=（1+）2+（）2﹣2（1+）+1=1+2+2+3﹣2﹣2+1=5；
（2）方程可化为x2+12x+62=﹣9+36，即（x+6）2=27，
两边开方得，x+6=±3，
故x1=﹣6﹣3，x2=﹣6+3．
16. 解得x1=2+，x2=2﹣．
解：依题意得：2a+6=0且b﹣=0，
解得a=﹣3，b=，则由关于x的方程：（a+2）x2+b2=（a﹣1）x，得
﹣x2+2=﹣4x，
整理，得（x﹣2）2=6，
解得x1=2+，x2=2﹣．
17．（1）⑤； （2）x1=2n x2=﹣4n．
解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
（2）x2+2nx﹣8n2=0， x2+2nx=8n2， x2+2nx+n2=8n2+n2，21教育网
（x+n）2=9n2， x+n=±3n，
x1=2n x2=﹣4n．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网(共25张PPT)
2．2 用配方法求解一元二次方程
【义务教育教科书北师版九年级上册】
学校：________
教师：________
复习回顾
1、如果一个数的平方等于4 ，则这个数是多少，设这个数为x，根据题为可列方程：
x=±2
x2=4
根据题意列出下各题方程的，观察方程特点，并解方程：
方程特点
左边：
一个字母的平方
右边：
一个常数
导入新课
2、如果一个正方形的边长增加3cm后，它的面积变为64 CM2 ，则原来的正方形的边长为多少？若变化后的面积为48CM2 呢？
解：设原正方形的边长为x，根据题意列出方程
如何解以上两个方程？
方程特点
左边：
一个完全平方式
右边：
一个常数
一元二次方程
求解
两边同时开平方
一元一次方程
转化
导入新课
我们研究梯子底端滑动的距离x(m) 满足方程
,你能仿照上面几个方程的解题过程,求出x的精确解吗 你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里
将方程转化为（x+m)2=n(n≥0)的形式是解本题的难点，这种方法叫配方法．
挑战自我
做一做
1：做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方）
填上适当的数，使下列等式成立。
62
32
42
4
22
2
例1:解方程：x2+8x-9=0．
解：把常数项移到方程的右边，得
x2+8x＝9
两边都加上42，（一次项系数8的一半的平方）得
x2+8x＋42=9＋42.
即（x+4）2=25
两边开平方，得 x+4=±5,
即x+4=5,或x+4=-5.
所以 x1=1, x2=-9.
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.
新课讲解
例1:解方程：x2+8x-9=0．
解：x2+8x＝9
x2+8x＋42=9＋42.
（x+4）2=25
x+4=±5,
x+4=5,或x+4=-5.
x1=1,x2=-9.
新课讲解
2、配方
3、开方
4、求解
1、移项
解一元二次方程的思路是将方程化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方转化为一元一次方程，便可求出它的根．
探究理解
用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？
解下列方程:
(1) （2）
解：(1)移项 ，得 （2）移项，得
配方，得 配方，得
课堂练习
练一练
例2：解方程：
３x2+8x－3=0
分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。
解：两边都除以3，得：
移项，得：
配方，得： （方程两边都加上一次项系数一半的平方）
即： 所以:
解下列方程：
（1）4x2-6x-3=0； （2） 3x2+6x-9=0.
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
课堂练习
练一练
(1)把二次项系数化为1；
(2)移项：方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
(3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
(4)用直接开平方法求出方程的根。
(5)求解:解一元一次方程;
(6)定解:写出原方程的解.
【解析】根据题意得 15t-5t2=10
方程两边都除以-5，得t2-3t=-2
配方，得
例3:一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中
的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=15t―5 ,小球何时能达到10m高？
即
∴
请你描述一下，刚才的实际问题中t有两个值，它们所在时刻小球的运动状态.
如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少？
课堂练习
举一反三
解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（30﹣3x）（24﹣2x）=480，
解得x1=20（舍去），x2=2．
答：人行通道的宽度是2m
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边;
2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
3.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
5.求解:解一元一次方程;
6.定解:写出原方程的解.
课堂小结
在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？
如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,在使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应是多少？
解：设道路的宽为 x m，根据题意列出方程：
(35-x) (26-x) ＝850.
即
x2 - 61x－60 ＝0.
35m
26m
解这个方程,得
x1 ＝1; x2 ＝60(不合题意,舍去).
答:道路的宽应为1m.
拓展提升
达标测评
1.填上适当的数,使下面各等式 成立：
(1)x2+3x+_______=(x+________)2；
(2)_______-3x+ =(3x_______)2；
(3)4x2+_____+9=(2x________)2；
(4)x2- px+_______=(x-_______)2
(5)x2+x+_______=(x+_______)2.
2.方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是（ ）
A.(x-6)2=41 B.(x-3)2=4;
C.(x-3)2=14 D.(x-6)2=36
达标测评
3.用配方法解下 列方程:
(1)x2+4x-3=0; (2)x2+3x-2=0;
C
达标测评
3.用配方法解下 列方程:
(1)x2+4x-3=0;
解：移项得 x2+4x=3，
两边同时加上22得x2+4x+22=7，即(x+2)2=7
两边开平方，得
所以：
达标测评
(2)x2+3x-2=0;
解：移项得 x2+3x=2，
两边同时加上 得 ，即
两边开平方，得
所以：
课本37页习题2.3 1题、2题。
布置作业
