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课题：一定是直角三角形吗
教学目标：
知识与技能目标：
1．了解直角三角形判定的探索方法和探索过程；
2．理解勾股定理及直角三角形的判定之间的关系；
3．掌握直角三角形的判定，并能利用其判断一个三角形是直角三角形；
过程与方法目标
1. 在猜想、证明等数学活动中，发展合情推理的能力。
2. 通过直角三角形的判定的探索及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用其解决相关问题．21世纪教育网版权所有
情感与态度目标
1．通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受互逆之间的关系；
2．在探究直角三角形的判定的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神．2-1-c-n-j-y
重点：
直角三角形的判定及其应用．
难点：
直角三角形的判定的探索过程．
教学流程：
课前回顾
在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
情境引入
探究1：上述定理，反过来，还成立吗？
如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
下列的五组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
①6，8，10；
②5，12，13；
③7，24，25；
这三组数都满足 a2+b2=c2吗？
2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
可以构成直角三角形;
总结：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
逆命题：
如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。
拓展:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.21·cn·jy·com
在 ABC中, a，b，c为三边长,其中 c为最大边,
若a2 +b2=c2, 则 ABC为直角三角形;
若a2 +b2>c2, 则 ABC为锐角三角形;
若a2 +b2练习1：在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( C )
2.如果线段a，b，c能组成三角形，则它们的比可能是( B )
A.3：4：7 B.5：12：13
C.1：2：4 C.1：3：5
3.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数，则得到的三角形是( A )
A.直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是锐角三角形D.不可能是直角三角形
归纳：满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数。
常见的基本勾股数有
3，4，5；
5，12，13；
8，15，17；
7，24，25；
9，40，41；
如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？填写下表，并计算第一列每组数是否为勾股数，她们的2倍、3倍、4倍、10倍呢？
练习2：1.请快速计算下列直角三角形的另一边
:
2.判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
a＝15 , b ＝8 , c＝17
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。21cnjy.com
解：∵152＋82＝225＋64＝289
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
3.已知
则x，y，z三边组成的三角形是__直角三角形__________
想一想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
1、哪条边是些斜边？哪个角是直角？
c是斜边，边c所对应的角∠C是直角
2、如果c2+b2=a2 呢，还是直角三角形吗？哪个是直角？
是，边a所对应的角∠A是直角
3、如果c2-b2=a2 呢，还是直角三角形吗？哪个是直角？
是，移项得 ，所以，边c所对应的角∠C是直角
自主思考
探究2：一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,你说这个零件符合要求吗 21教育网
在△ABD中，所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
在△BCD中，所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
练习3：如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。www.21-cn-jy.com
解：连结BD，在Rt△ABD中，
由勾股定理得BD=5cm.
又∵在三角形BDC中，
三边分别是5，12，13，
满足勾股定理，∴三角形BDC是直角三角形。
因此四边形ABCD的面积为36平方厘米
合作探究
探究3：给你一根绳子，没有其他工具，你能方便的得到一个直角吗？（P11）
用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个人同时握住第一个结和第13个结，两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。2·1·c·n·j·y
五、达标测评
1.
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等边三角形
2．下列命题中，假命题是 ( B )
(A)三个角的度数之比为1 : 3 : 4的三角形是直角三角形
(B)三个角的度数之比为1 : : 2的三角形是直角三角形
(C)三边长度之比为1 :: 2的三角形是直角三角形
(D)三边长度之比为 : : 2的三角形是直角三角形
3．已知：a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2 (m、n为正整数，m＞n).
试判定由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。【来源：21·世纪·教育·网】
∴△ABC是直角三角形
5.一小船先向正南行进了80米到另一小船处借东西，之后又向正东行进了150米，此时它距出发地多少米？21·世纪*教育网
解：设它距出发地x米，
由勾股定理得：
x2=802+1502=28900=1702，
解得：x=170
此时小船距出发点170米.
六、应用提高
假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到了宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？www-2-1-cnjy-com
BC=6+2=8
AC=8-3+1=6
AB2=AC2+BC2=36+64=100
∴ AC=10（千米）
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、直角三角形的判定定理
2、什么是逆命题
3、学会用勾股定理的逆命题求解问题。
七、布置作业
教材10页习题第1、2题。
B
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 4 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
一定是直角三角形吗
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题（每小题7分，28分）
1.下列三角形中,是直角三角形的是( )
A.三角形的三边满足关系a+b=c B.三角形的三边长分别为32,42,52
C.三角形的一边等于另一边的一半 D.三角形的三边长为7,24,25
2.如图，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是()21·世纪*教育网
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
3.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（ ）
A.42 B.52
C.7 D.52或7
4.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )21cnjy.com
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A.72+242=625=252，152+242=791≠202; B.72+242=625=252，152+202=625≠242;
C.72+242=625=252，152+202=625=252; D.152+242=791≠252，72+202=449≠252.
5.下列命题中的假命题是( )
A.在△ABC中，若∠A=∠C－∠B，则△ABC是直角三角形
B.在△ABC中，若a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形
C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度数比是5∶2∶3，则△ABC是直角三角形
D.在△ABC中，若三边长a∶b∶c=2∶2∶3，则△ABC是直角三角形
6.将直角三角形三边扩大同样的倍数,得到的三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形
二、解答题（每小题12分，72分）
1、已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
2. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？21·cn·jy·com
3.如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）．（供选用的数据：≈1．414，≈1．732） www.21-cn-jy.com
4.如图1，一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下落了多少米．21教育网
参考答案
选择题
D
【解析】要满足勾股定理逆定理,D中72+242=252.所以选D.
2． B
【解析】 由半圆的面积公式及勾股定理的逆定理，判断出这个三角形为直角三角形．
解：设最大半圆半径为c，最小半圆半径为a，第三个半圆半径为b，则三角形中最长边为2c，最短边长为2a，第三边为2b；
∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，
∴21世纪教育网版权所有
化简得，a2+b2=c2，
∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．
2·1·c·n·j·y
3. D
【解析】注意有两种情况
(ⅰ)32+42=52，
(ⅱ)32+7=42)
4 C
【解析】因为是两个直角三角形，就是要验证是否满足勾股定理.
5．D
【解析】A.在△ABC中，若∠A=∠C－∠B，则∠A+∠B=∠C,又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°.则△ABC是直角三角形.【来源：21·世纪·教育·网】
B.在△ABC中，若a2+b2=c2，由勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形.
C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度数比是5∶2∶3，可设∠A=5x,
则∠B=2x，∠C=3x，∠A+∠B+∠C=180°,即5x+2x+3x=180°.
解得x=18°，故∠A=5x=5×18°=90°,则△ABC是直角三角形.
D.在△ABC中，若三边长a∶b∶c=2∶2∶3，可设a=2x，则b=2x，
c=3x，(2x)2+(2x)2=8x2≠(3x)2,即a2+b2≠c2.由勾股定理逆定理知△ABC不是直角三角形.
6．B
【解析】将直角三角形三边扩大相同倍数后,仍满足勾股定理,所以仍是直角三角形.
二、解答题
1. 解：由已知得
(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0
(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0
由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.
所以a－5=0，得a=5；
b－12=0，得b=12；
c－13=0，得c=13.
又因为132=52+122，即a2+b2=c2
所以△ABC是直角三角形.
2、解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，
走了12千米，即OA=12．
乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，
走了5千米，即OB=5．
在Rt△OAB中，AB2=122十52＝169，∴AB=13，
因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．
∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系
3、解：由题意可知：∠ACP＝ ∠BCP＝ 90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°
在Rt△BPC中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴
在Rt△ACP中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴
∴
≈60+20×1．732 ＝94．64≈94．6(米)
答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94．6米．
4. 解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2
∴2.52＝AC2＋1.52，∴AC＝2（m）．
在Rt△EDC中，DE2＝CE2＋CD2，∴2.52＝CE2＋22
∴CE2＝2.25，∴CE＝1.5（m），
∴AE＝AC－CE＝2－1.5＝0.5（m）
答：梯子顶端A下落了0.5m．
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一定是直角三角形吗
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
课前回顾
勾股定理
上述定理，反过来，还成吗？吗？
想一想
下列的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
①6，8，10；
②5，12，13；
③7，24，25；
探究1
我们用三组数字来探究上面的问题.
1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？
①6，8，10；
②5，12，13；
③7，24，25；
探究1
实验
现在我们来验证他们是否能构成直角三角形.
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
结论
勾股定理，反过来，还成立吗？
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2 ，
那么这个三角形是直角三角形，这是勾股定理的
逆定理
总结
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，
那么这个三角形是直角三角形
直角三角形判别条件
在 ABC中, a，b，c为三边长,其中 c为最大边,
若a2 +b2=c2, 则 ABC为直角三角形;
若a2 +b2>c2, 则 ABC为锐角三角形;
若a2 +b2总结
1.在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )
(A)5、12、13 (B)2、3、
(C)4、7、5 (D)1、 、
C
练习1
2.如果线段a，b，c能组成三角形，则它们的比可能是( )
A.3：4：7 B.5：12：13
C.1：2：4 C.1：3：5
练习1
3.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数，则得到的三角形是( )
A.直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是锐角三角形D.不可能是直角三角形
B
A
满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数。
常见的基本勾股数有
3，4，5；
5，12，13；
8，15，17；
7，24，25；
9，40，41；
归纳
如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？填写下表，并计算第一列每组数是否为勾股数，她们的2倍、3倍、4倍、10倍呢？
2倍 3倍 4倍 10倍
3，4，5 6，8，10
5，12，13 15，36，39
8，15，17 32，60，68
7，24，25 70，240，250
9，12，15
12，16，20
30，40，50
10，24，26
20，48，52
50，120，130
16，30，34
24，45，51
80，150，170
14，48，50
21，72，75
28，96，100
想一想
“勾股数”的性质：
结论
“勾股数”的任意正倍数仍是勾股数。
观察上面表格，你可以得出什么结论？
1.请快速计算下列直角三角形的另一边
直角边 直角边 斜边
6 8
9 15
10 26
14 48
练习2
10
50
24
12
2.判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
a＝15 , b ＝8 , c＝17
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82＝225＋64＝289
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
3.已知
则x，y，z三边组成的三角形是____________
分析：
因为
所以可得x-6=0，y-8=0，z-10=0，
x=6,y=8,z=10
所以，是直角三角形
直角三角形
练习2
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
1、哪条边是些斜边？哪个角是直角？
2、如果c2+b2=a2 呢，还是直角三角形吗？哪个是直角？
3、如果c2-b2=a2 呢，还是直角三角形吗？哪个是直角？
想一想
c是斜边，边c所对应的角∠C是直角
是，边a所对应的角∠A是直角
是，移项得 ，所以，边c所对应的角∠C是直角
a2 + b2 = c2
一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A
和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如
图2所示,你说这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
探究2
在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解答
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。
练习3
解：连结BD，在Rt△ABD中，
由勾股定理得BD=5cm.
又∵在三角形BDC中，
三边分别是5，12，13，
满足勾股定理，
∴三角形BDC是直角三角形。
因此四边形ABCD的面积为36平方厘米
用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个人同时握住第一个结和第13个结，两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。
问题解决
给你一根绳子，没有其他工具，你能方便的得到一个直角吗？（课本P11）
B
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等边三角形
1.
达标测试
2．下列命题中，假命题是 ( )
(A)三个角的度数之比为1 : 3 : 4的三角形是直角三角形
(B)三个角的度数之比为1 : : 2的三角形是直角三角形
(C)三边长度之比为1 : : 2的三角形是直角三角形
(D)三边长度之比为 : : 2的三角形是直角三角形
B
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
∴△ABC是直角三角形
3．已知：a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2 (m、n为正整数，m＞n).
试判定由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形
4、观察下列表格：
列举 猜想
3、4、5 32=4+5
5、12、13 52=12+13
7、24、25 72=24+25
……
13、b、c 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b= ，c=
84
85
5.一小船先向正南行进了80米到另一小船处借东西，之后又向正东行进了150米，此时它距出发地多少米？
东
南
西
北
80米
150米
解：设它距出发地x米，
由勾股定理得：
x2=802+1502=28900=1702，
解得：x=170
此时小船距出发点170米.
假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到了宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？
应用提高
A
8
2
3
6
1
B
C
BC=6+2=8
AC=8-3+1=6
AB2=AC2+BC2=36+64=100
∴ AC=10（千米）
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、直角三角形的判定定理
3、学会用勾股定理的逆命题求解问题。
2、什么是逆命题
布置作业
教材10页习题第1、2题。
