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课题：函数
教学目标：
知识与技能目标：
1、初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。
2、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。
3、会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题。
过程与方法目标：
1、通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
2、经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。
情感态度与价值观目标：
1. 通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探索，培养勇于探索的精神；
2． 尝试从函数的角度看问题，培养学生的知识整合能力和建模意识，体验数学的工具功能，体会数学的价值。21·cn·jy·com
重点：
掌握函数概念。
判断两个变量之间的关系是否可看作函数。
能把实际问题抽象概括为函数问题。
难点：
1、 理解函数的概念。
2、 能把实际问题抽象概括为函数问题
教学流程：
情境引入
探究1：你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？www.21-cn-jy.com
因为人随轮一直做圆周运动。所以人的高度过一段时间就会重复依次，即转动一圈高度就重复一次。
请看下图，反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。
大家从图上可以看出，每过6分钟摩天轮就转一圈。高度h完整地变化一次。而且从图中大致可以判断给定的时间所对应的高度h。2·1·c·n·j·y
问题：在这个问题中，我们研究的对象有几个？分别是什么？
回答：研究的对象有两个，是时间t和高度h。
想一想：对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？
探究2：罐子盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
层数n 1 2 3 4 5 …
物体总数y 1 3 6 10 15 …
问题：在这个问题中的变量有几个？分别师什么？
回答：变量有两个，是层数与圆圈总数。
想一想：对于给定的层数 n ，相应的物体总数 y 确定吗？
探究3：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
230k， 246k, 273k， 291k
问题：本题中反应了哪两个变量之间的关系？
回答：摄氏温度t与热力学温度T
想一想：给定一个大于-273 ℃的t值，你能求出相应的T值吗？
议一议：1、上面的三个问题中，都有几个变量？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数n、物体总数y；
③热力学温度T、摄氏温度t。
1.当 时间 t 取定一个值时，相应的高度 h 就有唯一确定的值与其对应。
2.当 层数n 取定一个值时，_物体总数y 就有唯一确定的值与其对应。
3.当 热力学温度T 取定一个值时，__物体总数y 就有唯一确定的值与其对应。
归纳：给定其中某一各变量（自变量）的值，相应地就确定另一个变量（因变量）的值。
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
练习1：下列各式中，X是自变量，请判断Y是不是X的函数？
是 是
不是 是
练习2：下面哪个量是自变量？哪个量是自变量的函数？
x是自变量，y是自变量的函数 :
r是自变量，s是自变量的函数
v是自变量，s是自变量的函数
三、合作探究
探究： 以上三个探究中的问题，都用到了什么方法来表示函数呢？
答：图像法、列表法
答：列表法
答：关系式法
归纳：函数的三种表达式：
（1）图象；（2）表格；（3）关系式。
三种函数表示法可以互相转化
练习3：将探究2中的列表法转化为关系式法
层数(y) 物体总数(n)
层数1 1=1
层数2 3=1+2
层数3 6+1+2+3
…… ……
层数n n=1+2+3+…+n
2.将探究3中的关系式法转化为图像法
自主思考： 上述的三个问题中，自变量能取哪些值？
自变量t的取值范围 t≥0
自变量t的取值范围 n取正整数
自变量t的取值范围 t≥-273℃ :
归纳：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。21世纪教育网版权所有
练习3：求下列式子中自变量的取值。
x取所有实数
x不等于0
x大于等于0
归纳：请同学们想一想函数自变量的取值范围有什么规律
(1)有分母,分母不能为零
(2)开偶数次方,被开方数是非负数
(3)零次幂,底数不能为零
(4)是实际问题,要使实际问题有意义
四、达标测评
1、在y=3x+1中，如果x 是自变量， y 是x的函数
2、下列说法中，不正确的是（ D ）
A、函数不是数，而是 一种关系
B、多边形的内角和是边数的函数
C、一天中时间是温度的函数
D、一天中温度是时间的函数
3.求下列式子中自变量的取值。
x∈R
x+3 ≠ 0，x≠-3
2x-1≥0，x≥
x≠0
4、某城市居民用的天然气，1ｍ3收费2.88元，使用xｍ3天然气应交纳的费用为y（元），怎样用含x的式子表示y呢？21cnjy.com
y= 2.88x (用含x的代数式表示y),
当x＝10时，y＝ 2.88 （元）；
当x＝20时，y＝ 5.76 （元）。
五、应用提高
1.一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。21教育网
（1）写出表示y与x的函数关系的式子。
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
解:(1) 函数关系式为:
y = 50－0.1x
(2) 由x≥0及0.1x ≤ 50 得 0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 500
(3)把x = 200代入 y =50 －0.1x得 :
y=50-0.1×200=30
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L。
六、体验收获
1、函数的概念
2、函数的表示方法
3、函数的自变量的取值范围
4、函数值的求法
七、布置作业
教材78页习题第2、4题。
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函数
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择填空题（每小题6分，30分）
1.已知函数y=,当x=a时的函数值为1，则a的值为（ ）
A.3 B.－1 C.－3 D.1
2.某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟内收2.4元，每加一分钟加收1元.则表示电话费y（元）与通话时间x(分)之间的函数关系正确的是（ ）
3.甲、乙两地相距S千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满足vt=S，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（ ）.www.21-cn-jy.com
A.S是变量 B.t是变量
C.v是变量 D.S是常量
已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则剩油量P(升)与耗油时间t(小时)之间的函数关系式为（ ）.2·1·c·n·j·y
A.P=25+5t（t>0） B.P=25－5t(t≥0)
C.P= (t>0) D.P=25－5t (0≤t≤5)
5.写出下列函数关系式:
①速度60千米的匀速运动中，路程S与时间t的关系___________ .
②等腰三角形顶角y与底角x之间的关系 ______________ .
③汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油10升，油箱剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的关系______.【来源：21·世纪·教育·网】
④矩形周长30,则面积y与一条边长x之间的关系__________ .
二、解答题（每小题14分，70分）
1.下列各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
① ②
图1 图2
③
通话时间t/分 0＜t≤3 3＜t≤4 4＜t≤5 5＜t≤6 6＜t≤7 …
话费y/元 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 …
2.下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系：
（1）在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度.
（2）在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹的周长与半径.
（3）x+3与x.
（4）三角形的面积一定，它的一边和这边上的高.
（5）正方形的面积和梯形的面积.
（6）水管中水流的速度和水管的长度.
（7）圆的面积和它的周长.
（8）底是定长的等腰三角形的周长与底边上的高.
3．父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．
距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5
温度（℃） 20 14 8 2 ﹣4 ﹣10
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？
（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？
（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
4．张爷爷晚饭以后外出散步，碰到老邻居，交谈了一会儿，返回途中在读报栏前看了一会儿报，如图是据此情境画出的图象，请你回答下面的问题：21教育网
（1）张爷爷是在什么地方碰到老邻居的，交谈了多长时间？
（2）读报栏大约离家多远？
（3）图中反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？
5．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如下表：
物体的质量（kg） 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5
（1）上表反映了哪些变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当物体的质量为3kg时，弹簧的长度怎样变化？
（3）当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化？
（4）如果物体的质量为xkg，弹簧的长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式；
（5）当物体的质量为2.5kg时，根据（4）的关系式，求弹簧的长度．
参考答案
一．选择题
1．A
【解析】
2.C
【解析】注意三分钟到四分钟之间并不随时间的增长而增长，只要超过三分钟就加收一元，以此类推。
3.D
【解析】s是变量
4.D
【解析】由油量的取值为0到25之间，可得自变量t的取值0≤t≤5
5.①s=60t
②y=180-2x
③y=100-0.2x
④y=x（30-2x）
二、解答题
1．①②③都含有两个变量，①中人均纯收入可以看成年份的函数，
②中有效成分释放量是服用后的时间的函数
③中话费是通话时间的函数
2．(1)(2)(3)(4)(7)(8)是函数关系，(5)(6)不是.
3．解：（1）上表反映了温度和距地面高度之间的关系，高度是自变量，温度是因变量．
（2）由表可知，每上升一千米，温度降低6摄氏度，可得解析式为t=20-6h；
（3）由表可知，距地面5千米时，温度为零下10摄氏度；
（4）将t=6代入h=20-t可得，t=20-6×6=-1621世纪教育网版权所有
4．解：由图象可知：
（1）张爷爷在距家600米的地方碰见老邻居的，交谈了25-15=10（分钟）；
（2）读报栏离家300米；
（3）题目中涉及到了离家的距离与外出散步的时间之间的关系，时间t是自变量，能将离开家的距离看成时间的函数．21cnjy.com
1与L2的交点坐标为（-，）。
5. 解：（1）反映了物体的质量与弹簧的长度之间的关系，物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量；
（2）弹簧的长度由原来的12cm变为13.5cm；
（3）当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度逐渐变长；
（4）y=12+0.5x；
（5）当x=2.5时，y=12+0.5×2.5=13.25（cm）21·cn·jy·com
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函数
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
情境引入
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
h（米）
t（分）
探究1
根据图象填表：
t/分 0 1 2 3 4 5 ……
h/米 ……
11
37
45
37
3
下图反映了旋转时间t(分)与摩天轮上的一点的高度h (米)之间的关系。
11
探究1
对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？
本题中反应了哪两个变量之间的关系？
旋转时间t(分)与摩天轮上的一点的高度h
想一想
确 定
罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
层数n 1 2 3 4 5 ……
物体总数y ……
6
10
15
1
3
探究2
对于给定的层数 n ，相应的物体总数 y 确定吗？
本题中反应了哪两个变量之间的关系？
层数 n与物体总数 y
想一想
确 定
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
230k， 246k, 273k， 291k
探究3
本题中反应了哪两个变量之间的关系？
摄氏温度t与热力学温度T
想一想
给定一个大于-273 ℃的t值，你能求出相应的T值吗？
代入关系式即可
T=t+273,T≥0
1、上面的三个问题中，都有几个变量？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数n、物体总数y；
③热力学温度T、摄氏温度t。
议一议
2个
1.当 取定一个值时，___ 就有唯一确定的值与其对应。
时间t
议一议
相应的高度h
2.当 取定一个值时，___ 就有唯一确定的值与其对应。
层数n
物体总数y
3.当 取定一个值时，___ 就有唯一确定的值与其对应。
摄氏温度t
热力学温度T
给定一个变量，就相应的确定了另一个变量的值。
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量。
一个x值
一个y值
y就是x的函数
对应
归纳
对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，y才是x的函数。
下列各式中，X是自变量，请判断Y是不是X的函数？
（3）y＝ +
（4）y=
（1）y＝ 2x
（2）y＝
练习1
是
是
不是
是
x是自变量，y是自变量的函数
（1）4y=5-x
下面哪个量是自变量？哪个量是自变量的函数？
练习2
（3）s=100v
r是自变量，s是自变量的函数
v是自变量，s是自变量的函数
自主探究
根据图象填表：
t/分 0 1 2 3 4 5 ……
h/米 ……
11
37
45
37
3
下图反映了旋转时间t(分)与摩天轮上的一点的高度h (米)之间的关系
11
自主探究
罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
层数n 1 2 3 4 5 ……
物体总数y ……
6
10
15
1
3
自主探究
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
230k， 246k, 273k， 291k
自主探究
函数的表示法
图象法
列表法
关系式法
归纳
三种函数表示法可以互相转化
练习3
罐头盒等圆柱形的物体的堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
1.将探究2中的列表法转化为关系式法
分析
层数(y) 物体总数(n)
层数1 1=1
层数2 3=1+2
层数3 6=1+2+3
…… ……
层数n n=1+2+3+…+n
2.将探究3中的关系式法转化为图像法
热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.当t等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？230k， 246k, 273k， 291k
自主思考
根据图象填表：
t/分 0 1 2 3 4 5 ……
h/米 ……
11
37
45
37
3
下图反映了旋转时间t(分)与摩天轮上的一点的高度h (米)之间的关系
11
自主思考
t≥0
自变量t的取值范围
罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
层数n 1 2 3 4 5 ……
物体总数y ……
6
10
15
1
3
自主探究
自变量t的取值范围
n取正整数
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
230k， 246k, 273k， 291k
自主探究
自变量t的取值范围
t≥-273℃
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值。
总结
（1）y=x
练习4
求下列式子中自变量的取值。
x取所有实数
x不等于0
x大于等于0
请同学们想一想函数自变量的取值范围有什么规律
(1)有分母,分母不能为零
(4)是实际问题,要使实际问题有意义
(3)零次幂,底数不能为零
(2)开偶数次方,被开方数是非负数
归纳
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、函数的概念
2、函数的表示方法
3、函数的自变量的取值范围
4、函数值的求法
1、在y=3x+1中，如果x 是自变量， 是x的函数
2、下列说法中，不正确的是（ ）
A、函数不是数，而是 一种关系
B、多边形的内角和是边数的函数
C、一天中时间是温度的函数
D、一天中温度是时间的函数
达标测试
y
D
（1）y=2x+3
3.求下列式子中自变量的取值。
x∈R
x+3 ≠ 0，x≠-3
2x-1≥0，x≥
x≠0
4、某城市居民用的天然气，1ｍ3收费2.88元，使用xｍ3天然气应交纳的费用为y（元），怎样用含x的式子表示y呢？
y= (用含x的代数式表示y),
当x＝10时，y＝ （元）；
当x＝20时，y＝ （元）。
1.一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。
（1）写出表示y与x的函数关系的式子。
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
应用提高
解:(1) 函数关系式为:
y = 50－0.1x
(2) 由x≥0及0.1x ≤ 50 得 0 ≤ x ≤ 500
∴自变量的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 500
(3)把x = 200代入 y =50 －0.1x得 :
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L。
y=50-0.1×200=30
布置作业
教材78页习题第2、4题。
